Ta thấy M,P lần lượt là trung điểm của AB,BC => MP là đường trung bình trong  \(\Delta\)ABC

=> MP // AC hay MP // AD. Xét \(\Delta\)BAD có: M là trung điểm AB, MP // AD => MP đi qua trung điểm BD

Gọi MP cắt BD tại S. Khi đó S là trung điểm BD. Ta sẽ chứng minh AI đi qua S, thật vậy:

Áp dụng hệ quả ĐL Thales có: \(\frac{ON}{AM}=\frac{OP}{BM}\left(=\frac{CO}{CM}\right)\)=> ON = OP (Vì AM = BM)

Áp dụng ĐL Melelaus cho \(\Delta\)PCN và 3 điểm A,O,I có \(\frac{IP}{IC}.\frac{ON}{OP}.\frac{AC}{AN}=1\)

Thay \(\frac{ON}{OP}=1,\frac{AC}{AN}=2\), ta được \(\frac{IP}{IC}=\frac{1}{2}\). Do đó \(\frac{IC}{IB}=\frac{1}{2}\)(Vì PC=1/2BC)

Áp dụng ĐL Melelaus cho \(\Delta\)ABC và 3 điểm M,I,D có \(\frac{MA}{MB}.\frac{IC}{IB}.\frac{DA}{DC}=1\)

Thay \(\frac{MA}{MB}=1,\frac{IC}{IB}=\frac{1}{2}\)(cmt), ta được \(\frac{DA}{DC}=2\)=> C là trung điểm AD 

Xét \(\Delta\)BAD: Các trung tuyến DM, BC cắt nhau tại I => I là trọng tâm của \(\Delta\)BAD

Ta có S là trung điểm BD nên AI đi qua S. Như vậy AI,BD,MP đồng quy tại trung điểm BD (đpcm).

Gọi S là giao điểm của MP và BD

Vì P là giao điểm của MS và BC

=> Tứ giác BMCS là hình bình hành

=> \(MC//BD\)

Mà M là trung điểm của AB

=> C là trung điểm của AD

CMTT S là trung điểm của BD

=> BC; DM lần lượt là trung tuyến của tam giác ABD

Mà BC giao DM tại I

=> I là trọng tâm của tam giác ABD

Mà S là trung điểm của BD

=> A;I;S thẳng hàng

=> AI;BD;MP đồng quy tại S

Vậy AI;BD;MP đồng quy tại S

\(\Delta\)ABC có P,N lần lượt là trung điểm của BC, AC

=> PN là đường trung bình của ​\(\Delta\)​ABC

Từ đó có PO = ON. Gọi K là trung điểm của IC

Chứng minh được PI = IK = KC

Gọi H là trung điểm của ID

Ta có KH // MP // CD

\(\Delta\)IPM = \(\Delta\)IKN (g.c.g) => MP = KH => AC = CD

Gọi E là giao điểm của MP và BD, ta có E là trung điểm của BD

\(\Delta\)ABD có DM và BC là hai đường trung tuyến cắt nhau tại I => I là trọng tâm. Do đó A,I,E thẳng hàng

Vậy AI, BD, MP đồng quy (đpcm)

bài này mới chữa trên lớp =))

a) Ta có:-

- M là trung điểm của AB

⇒  AM = MB.

- N là trung điểm của BC

⇒ BN = NC.

- P là trung điểm của CD

⇒ CP = PD.

- Q là trung điểm của DA

⇒ DQ = QA.

Do đó, ta có: AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA.

⇒ tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Có:

- I là trung điểm của AC

⇒AI = IC.

- K là trung điểm của BD

⇒ BK = KD.

Do đó, ta có: AI = IC = BK = KD.

⇒ tứ giác INKQ là hình bình hành.

b)Gọi O là giao điểm của MP và NQ ta có:

MP // AB và NQ//CD ( M và N là trung điểm của AB và CD).

⇒ MP song song với NQ.

do đó :O nằm trên MP và NQ.

  Gọi H là giao điểm của MI và NK ta có:

MI // AC và NK // BD (do I và K là trung điểm của đường chéo AC và BD). 

⇒ MI song song với NK.

  Do đó: H nằm trên cả MI và NK.

  Gọi G là giao điểm của OH và BD ta có:

OH //MP và BD // MP (do O nằm trên MP và NQ, và H nằm trên  MI và NK). 

⇒ OH song song với BD.

doo đó: G nằm trên OH và BD.

⇒ I, O, K thẳng hàng.(ĐPCM)

a: Xét ΔBAC có BM/BA=BN/BC=1/2

nên MN//AC và MN=1/2AC

Xét ΔDAC có DQ/DA=DP/DC

nên PQ//AC và PQ/AC=DQ/DA=1/2

=>PQ=1/2AC

=>MN//PQ và MN=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

Xét ΔCAB có CI/CA=CN/CB=1/2

nên IN//AB và IN=1/2AB

Xét ΔDAB có DQ/DA=DK/DB=1/2

nên QK//AB và QK=1/2AB

=>IN//QK và IN=QK

=>INKQ là hình bình hành

b: MNPQ là hình bình hành

=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của NQ

INKQ là hbh

=>IK cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường

=>I,O,K thẳng hàng

a: Xét ΔABC có

AM/AB=AN/AC

Do đó: MN//BC

hay BMNC là hình thang

mà BN=CM

nên BMNC là hình thang cân

\(c,\) Vì AD//BP và AD=BP nên ADPB là hbh

Do đó O là trung điểm AP và BD

Xét tam giác ADP có DO và AN là trung tuyến giao tại G nên G là trọng tâm

Do đó \(DG=\dfrac{2}{3}DO\)

Mà \(DO=\dfrac{1}{2}BD\Rightarrow DG=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{3}BD\)