- Dựng phân giác AD của góc A . Sau đó dựng BB' và CC' vuông góc với AD 

- Đặt BB' = x , CC' = y . Ta có :

+) \(\Delta ABB'\)cân tại A \(sin\frac{A}{2}=\frac{x}{2c}\)

+) \(\Delta ACC'\)cân tại A \(sin\frac{A}{2}=\frac{y}{2b}\)

\(\Rightarrow sin^2\frac{A}{2}=\frac{xy}{4bc}\)

Để cm(1) , ta cần cm : \(xy\le a^2\)

+) Trong tam giác BHD vuông tại H ta có : \(BH\le CD\)hay \(\frac{x}{2}\le BD\)

+) Trong tam giác CKD vuông tại K ta có : \(CK\le CH\)hay \(\frac{y}{2}\le CD\)

\(\Rightarrow a=BD+CD\ge\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow a^2\ge xy\left(đpcm\right)\)

Kẻ phân giác AD của tam giác ABC (D nằm trên đoạn BC)

Từ B,C kẻ các đường vuông góc với đường thẳng AD tại E,F

Khi đó ta có: \(\sin\widehat{BAE}=\frac{BE}{AB}=\frac{BE}{c}\) ; \(\sin\widehat{FAC}=\frac{CF}{AC}=\frac{CF}{b}\)

Mà \(\sin\frac{\widehat{A}}{2}=\sin\widehat{BAE}=\sin\widehat{FAC}=\frac{BE}{c}=\frac{CF}{b}=\frac{BE+CF}{b+c}\)

Ta thấy \(\hept{\begin{cases}BE\le BD\\CF\le CD\end{cases}}\Rightarrow BE+CF\le BD+CD=BC\)

Lại có theo bất đẳng thức Cauchy: \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)

\(\Rightarrow\sin\frac{\widehat{A}}{2}=\frac{BE+CF}{b+c}\le\frac{BC}{2\sqrt{bc}}=\frac{a}{2\sqrt{bc}}\)

Dấu "=" xảy ra khi tam giác ABC cân tại A

\(\frac{2\left(Σab\right)}{Σa^2}\le\frac{2\left(Σa^2\right)}{a^2}=2\)

tuc la can cm \(Σ\frac{a}{b+c}\le\frac{7}{2}-2=\frac{3}{2}\)

Nguoc dau voi BDT Nesbitt

vay BDT sai ko xay ra dau = maybe :3

Bất đẳng thức này mà ko loạn dấu thì tự làm đc r. Nhưng vế trước>=3/2, vế sau<=2 quá loạn dấu

Nhân cả 2 vế với 2
Xét hiệu
  2(a²+b²+c² )-2(ab+ac+bc)
=2a²+2b²+2c² -2ab -2ac -2bc
=a²-2ab+b²+b²-2bc+b²+c²-2ac+a²
=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²  luôn luôn lớn hợn hoặc =0
nên a²+b²+c² lớn hơn hoặc bằng ab-ac-bc dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Nhân cả 2 vế với 2
Xét hiệu
  2(a²+b²+c² )-2(ab+ac+bc)
=2a²+2b²+2c² -2ab -2ac -2bc
=a²-2ab+b²+b²-2bc+b²+c²-2ac+a²
=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²  luôn luôn lớn hợn hoặc =0
nên a²+b²+c² lớn hơn hoặc bằng ab-ac-bc dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Nhân cả 2 vế cho 2 ta có

2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac>=0

<=>(a+b)2+(a+c)2+b+c)2>=0 (lđ)

Dấu = xảy ra khi a=b=c

c) Áp dụng BĐT cô si cho 2 hai số dương \(a;b\) ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow a=b\)

câu 1 :a²+ab+ b²/4 +3b²/4=(a+b/2)² +3b²/2 tong 2 binh phương luôn >=0 dau bang khi ca hai số đó bằng 0. a=0 và b=0

câu 2: a^2-ab+ b²/4 +3b²/4=(a-b/2)² +3b²/2 .a=0 và b=0

Ta có: \(\widehat{AKJ}+\widehat{BKI}=180^o-60^o=120^o,\widehat{BKI}+\widehat{BIK}=120^o\)

=> \(\widehat{AKJ}=\widehat{BIK}\)

Mà \(\widehat{KBI}=\widehat{JAK}\left(=60^o\right)\)

=> Tam giác KAJ đồng dạng vs tam giác IBK

=> \(\frac{BI}{AK}=\frac{BK}{AJ}\Rightarrow BI.AJ=BK.AK\le\left(\frac{BK+AK}{2}\right)^2\)=\(\frac{AB^2}{4}\)

Dấu '=" xảy ra khi và chỉ khi BK=AK hay K là trung điểm AB

CẢM ƠN CÔ ĐÃ GIẢI BÀI

Nối đường chéo BD của tứ giác ABCD. Lấy I là trung điểm của đoạn BD, nối IM và IN.

Xét \(\Delta\)BAD: I là trung điểm BD; M là trung điểm AD => IM là đường trung bình của tam giác BAD

=> IM = 1/2 AB. Tương tự ta có: IN = 1/2 CD \(\Rightarrow IM+IN=\frac{AB+CD}{2}\)

Mà \(IM+IN\ge MN\)(T/c 3 điểm) \(\Rightarrow\frac{AB+CD}{2}\ge MN\)

Vậy \(MN\le\frac{AB+CD}{2}\)(đpcm).

Dấu "=" xảy ra <=> I thuộc đoạn MN <=> MN // AB // CD (Do IM // AB và IN // CD) <=> Tứ giác ABCD là hình thang.