a.

\(\Delta=\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2=\left(a^2+b^2-c^2-2ab\right)\left(a^2+b^2-c^2+2ab\right)\)

\(=\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]\)

\(=\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\)

Do a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}a< b+c\Rightarrow a-b-c< 0\\a+c>b\Rightarrow a-b+c>0\\a+b>c\Rightarrow a+b-c>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)< 0\)

\(\Rightarrow\Delta< 0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình vô nghiệm

Đề bài sai

b.

\(\Delta=\left(a+b+c\right)^2-4\left(ab+bc+ca\right)\)

\(=a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\)

Do a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên:

\(\left\{{}\begin{matrix}a< b+c\\b< c+a\\c< a+b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2< ab+ac\\b^2< ab+bc\\c^2< ac+bc\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca< 0\)

\(\Rightarrow\Delta< 0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình vô nghiệm

Đề bài sai

Với \(c=0\Rightarrow f\left(x\right)=0\) có nghiệm \(x=0\) (loại)

TH1: \(a;c\) trái dấu 

Xét pt \(f\left(x\right)=0\Leftrightarrow a\left(ax^2+bx+c\right)^2+b\left(ax^2+bx+c\right)+c=0\)

Đặt \(ax^2+bx+c=t\) \(\Rightarrow at^2+bt+c=0\) (1)

Do a; c trái dấu \(\Leftrightarrow\) (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu.

Không mất tính tổng quát, giả sử \(t_1< 0< t_2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c=t_1\\ax^2+bx+c=t_2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}ax^2+bx+c-t_1=0\left(2\right)\\ax^2+bx+c-t_2=0\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Mà a; c trái dấu nên:

- Nếu \(a>0\Rightarrow c< 0\Rightarrow c-t_2< 0\Rightarrow a\left(c-t_2\right)< 0\)

\(\Rightarrow\) (3) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

- Nếu \(a< 0\Rightarrow c>0\Rightarrow c-t_1>0\Rightarrow a\left(c-t_1\right)< 0\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) có nghiệm hay \(f\left(x\right)=0\) có nghiệm (loại)

Vậy đa thức \(f\left(x\right)\) luôn có nghiệm khi a; c trái dấu

\(\Rightarrow\)Để \(f\left(x\right)=0\) vô nghiệm thì điều kiện cần là \(a;c\) cùng dấu \(\Leftrightarrow ac>0\)

Khi đó xét \(g\left(x\right)=0\) có \(a.\left(-c\right)< 0\Rightarrow g\left(x\right)=0\) luôn có 2 nghiệm trái dấu (đpcm)

Bài 1: 

b: \(\Leftrightarrow x-2=0\)

hay x=2

\(\Leftrightarrow3x^2-2\left(a+b+c\right)x+ab+bc+ca=0\)

Pt có nghiệm kép khi và chỉ khi:

\(\Delta'=\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(a-b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(b-c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Đặt \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)\)

Hàm \(f\left(x\right)\) hiển nhiên liên tục trên R

Do vai trò a;b;c như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(a< b< c\)

\(f\left(a\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\)

\(f\left(b\right)=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\)

\(f\left(c\right)=\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)

\(f\left(a\right).f\left(b\right)=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)=\left(a-b\right)^2\left(c-a\right)\left(b-c\right)\)

Do \(a< b< c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c-a>0\\b-c< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;b)

\(f\left(b\right).f\left(c\right)=\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(c-b\right)=\left(b-c\right)^2\left(a-b\right)\left(c-a\right)\)

Do \(a< b< c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b< 0\\c-a>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(b\right).f\left(c\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (b;c)

Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

a/ ta có: 2(x+1)=3+2x

=> 2x +2 = 3+ 2x

=>2x-2x=3-2

=>0=1 (vô lí) =>đpcm

b/ 2(1-1,5x)+3x=0 =>2-3x+3x=0

=>0=-2 (vô lí ) =>đpcm

c/ vô nghiệm vì không có giá trị tuyệt đối nào mà kết quả là số âm

a) 2(x+1)=3+2x

<=> 2x+2-3-2x=0

<=> 0x=1

=> không tìm được x

Vậy phương trình vô nghiệm

b) 2(1-1,5x)+3x=0

<=>2-3x+3x=0

<=> 0x=-2

=> không tìm được x

Vậy phương trình vô nghiệm

c) IxI=-1

=> không tìm được x

Vậy phương trình vô nghiệm

\(\frac{(b-c)(1+a)^2}{x+a^2}+\frac{(c-a)(1+b)^2}{x+b^2}+\frac{(a-b) (1+c)^2}{x+c^2}=0\)

\(\Leftrightarrow \sum (b-c)(1+a)^2(x+b^2)(x+c^2)=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)(b-c)(c-a)(x^2+(-2a-ca-ba-cb-2c-2b-1)x+ba+2acb+cb+ca)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+(-2a-ca-ba-cb-2c-2b-1)x+ba+2acb+cb+ca=0\)

Xét phương trình  \(x^2+(-2a-ca-ba-cb-2c-2b-1)x+ba+2acb+cb+ca=0\)

Ta thấy \(\Delta=(2a+2b+2c+ab+bc+ca-1)^2+8(a+b+c-abc)\)

Nếu \(\Delta <0\) thì phương trình vô nghiệm

Nếu \(\Delta =0\) thì phương trình có nghiệm kép

Nếu \(\Delta >0\) thì phương trình có hai nghiệm