Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE và BC = 8cm

a) Chứng minh rằng: Tứ giác BEDC là hình thang.

b) Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Tính MN?

c) Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE. Chứng minh rằng:

 giúp cái

Trong ∆ ABC ta có: E là trung điểm của cạnh AB

D là trung điểm của cạnh AC

Nên ED là đường trung bình của  ∆ ABC

⇒ ED // BC và ED = 1/2 BC

(tính chất đường trung bình của tam giác)

+) Tứ giác BCDE có ED // BC nên BCDE là hình thang.

Trong hình thang BCDE, ta có: BC // DE

M là trung điểm cạnh bên BE

N là trung điểm cạnh bên CD

Nên MN là đường trung hình hình thang BCDE ⇒ MN // DE

(tính chất đường trung bình hình thang)

Trong  ∆ BED, ta có: M là trung điểm BE

MI // DE

Suy ra: MI là đường trung bình của  ∆ BED

⇒ MI = 1/2 DE = 1/4 BC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong  ∆ CED ta có: N là trung điểm CD

NK // DE

Suy ra: NK là đường trung bình của  ∆ CED

⇒ NK = 1/2 DE = 1/4 BC (tính chất đường trung bình của tam giác)

IK = MN – (MI + NK) = 3/4 BC – (1/4 BC + 1/4 BC) = 1/4 BC

⇒ MI = IK = KN = 1/4 BC

a:

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC

Do đó: ED là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: ED//BC

Xét hình thang BEDC có 

M là trung điểm của EB

N là trung điểm của DC

Do đó: MN là đường trung bình của hình thang BEDC 

Suy ra: MN//ED//BC

Xét ΔEBD có

M là trung điểm của EB

MI//ED

Do đó: I là trung điểm của BD

Xét ΔEDC có 

N là trung điểm của DC

NK//ED

Do đó: K là trung điểm của EC

Xét ΔEBC có

M là trung điểm của EB

K là trung điểm của EC

Do đó: MK là đường trung bình của ΔEBC

Suy ra: \(MK=\dfrac{BC}{2}\left(1\right)\) và MK//BC

Xét ΔDBC có 

I là trung điểm của BD

N là trung điểm của DC
Do đó: IN là đường trung bình của ΔDBC

Suy ra: \(IN=\dfrac{BC}{2}\left(2\right)\)

Xét ΔABC có 

E là trung điểm của AB

D là trung điểm của AC

Do đó: ED là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: \(ED=\dfrac{BC}{2}\left(3\right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra MK=IN=ED

nvbmmnlpoiwqvnaqw 098176235

Hình trên, đặt BC = a

Vì \(\Delta ABC\)có \(AE=EB;AD=DC\)nên \(ED\)là đường trung bình . Do đó ED song song BC và \(ED=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}\)

Do MN là đường trung bình của hình thang BEDC nên MN song song ED song song BC

\(\Delta BED\)có \(BM=ME;MI\)song song \(ED\)nên \(MI\)là đường trung bình , \(MI=\frac{ED}{2}=\frac{a}{4}\)

\(\Delta CED\)có \(CN=ND;NK\)song song \(ED\)nên \(NK\)là đường trung bình ,\(NK=\frac{ED}{2}=\frac{a}{4}\)

\(\Delta EBC\)có \(EM=MB;MK\)song song \(BC\)nên \(MK\)là đường trung bình ,\(MK=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}\)

\(\Rightarrow IK=MK-MI=\frac{a}{2}-\frac{a}{4}=\frac{a}{4}\)

Vậy \(MI=IK=KN\)

a) Xét  \(\Delta ABC\)có  \(AE=EB\)

                                  \(AD=DC\)

\(\Rightarrow\)ED là đường trung bình  \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ED=\frac{1}{2}BC\Leftrightarrow ED=\frac{1}{2}\times8=4\left(cm\right)\\ED//BC\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)EDCB là hình thang

Lại có :  \(EM=MB\)

             \(DN=NC\)

\(\Rightarrow\)MN là đường trung bình của hình thang EDCB

\(\Rightarrow MN=\frac{ED+BC}{2}=\frac{4+8}{2}=\frac{12}{2}=6\left(cm\right)\)

Vậy  \(MN=6cm\)

b) Xét  \(\Delta BED\)có M là trung điểm BE ; MI // ED

\(\Rightarrow\)MI là dường trung bình  \(\Delta BED\)

\(\Rightarrow MI=\frac{1}{2}ED=\frac{1}{2}\times4=2\left(cm\right)\)

Xét  \(\Delta CED\)có N là trung điểm CD ; NK // ED

\(\Rightarrow\)NK là đường trung bình  \(\Delta CED\)

\(\Rightarrow NK=\frac{1}{2}ED=\frac{1}{2}\times4=2\left(cm\right)\)

Lại có :  \(MI+IK+KN=MN\)

\(\Leftrightarrow2+IK+2=6\)

\(\Leftrightarrow IK=2\left(cm\right)\)

Vậy  \(MI=IK=KN\left(=2cm\right)\)