a: Xét ΔBAC có 

M là trung điểm của BC

D là trung điểm của AB

Do đó: MD là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: MD//AC

hay ME\(\perp\)AB

mà ME cắt AB tại trung điểm của ME

nên E và M đối xứng nhau qua AB

b: Xét tứ giác AEMC có 

AC//ME

AC=ME

Do đó: AEMC là hình bình hành

a)Vì E đối xứng với điểm M qua điểm D nên M,D,E thẳng hàng và DM = DE (1)

Áp dụng tính chất đường trung bình cho DBAC ta có DM//AC.

Mà DABC vuông tại A nên CA ^ AB Þ MD ^ AB (2)

Từ (1) và (2) Þ E đối xứng với M qua đường thẳng AB.

b) Tứ giác AEMC là hình bình hành, tứ giác AEBM là hình thoi.

c) Chu vi tứ giác AEBM là 4BM = 8 (cm)

d) nếu tứ giác AEBM là hình vuông thì ME = AB mà ME = AC (do ACME là hình bình hành) Þ AC = AB Þ DABC vuông cân tại A.

AD=BD

BM=MC

=> MD là đường trung bỉnh tam giác BAC

=>MD//AD

=>góc BDM= góc BAC=90^0

=> MD vuông góc với AB

a) Ta có MB = MC, DB = DA

⇒ MD là đường trung bình của ΔABC

⇒ MD // AC

Mà AC ⊥ AB

⇒ MD ⊥ AB.

Mà D là trung điểm ME

⇒ AB là đường trung trực của ME

⇒ E đối xứng với M qua AB.

b) + MD là đường trung bình của ΔABC

⇒ AC = 2MD.

E đối xứng với M qua D

⇒ D là trung điểm EM

⇒ EM = 2.MD

⇒ AC = EM.

Lại có AC // EM

⇒ Tứ giác AEMC là hình bình hành.

+ Tứ giác AEBM là hình bình hành vì có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Hình bình hành AEBM lại có AB ⊥ EM nên là hình thoi.

c) Ta có: BC = 4cm ⇒ BM = 2cm

Chu vi hình thoi AEBM bằng 4.BM = 4.2 = 8cm

d)- Cách 1:

Hình thoi AEBM là hình vuông ⇔ AB = EM ⇔ AB = AC

Vậy nếu ABC vuông có thêm điều kiện AB = AC (tức tam giác ABC vuông cân tại A) thì AEBM là hình vuông.

- Cách 2:

Hình thoi AEBM là hình vuông ⇔ AM ⊥ BM

⇔ ΔABC có trung tuyến AM là đường cao

⇔ ΔABC cân tại A.

Vậy nếu ΔABC vuông có thêm điều kiện cân tại A thì AEBM là hình vuông.

b: Xét tứ giác AEBM có 

D là trung điểm của AB

D là trung điểm của ME

Do đó: AEBM là hình bình hành

mà MA=MB

nên AEBM là hình thoi

a) Do E và M đối xứng qua D

⇒ D là trung điểm EM

Do D là trung điểm AB

M là trung điểm BC (AM là đường trung tuyến)

⇒DM là đường trung bình của ∆ABC

⇒DM // AC

Mà AC vuông góc AB

⇒DM vuông góc AB

Hay EM vuông góc AB tại D

⇒AB là đường trung trực của EM

Hay E và M đối xứng qua AB

b) Do D là trung điểm AB (gt)

D là trung điểm EM (cmt)

⇒AEBM là hình bình hành

Mà AB vuông góc EM (cmt)

⇒AEBM là hình thoi

c) Do BC = 4 (cm)

⇒BM = BC : 2

= 4 : 2

= 2 (cm)

Chu vi AEBM:

2 . 4 = 8 (cm)

 a) Ta có: E và M đối xứng với nhau qua D 
=> DE = DM ; ME vuông góc AB 
Ta có BD = DA ( D là trun điểm AB ) 
mà ME vuông góc AB ( cmt ) 
=> AB là trung trực của ME hay E và M đối xứng nhau qua D 
b) Xét Tam giác ABC có: 
M là trung điểm BC ( gt ) 
D là trung điểm AB ( gt) 
=> DM là đường trung bình tam giác ABC 
=> DM // AC; DM = 1/2AC 
mà E thuộc DM 
nên EM // AC 
Xét tứ giác AEMC có: 
EM // AC ( cmt) 
EM = AC ( cùng = 2DM ) 
=> Tứ giác AEMC là hình bình hành( tứ giác có 2 cạnh đối vừa // vừa = nhau là hình bình hành) 
c) Xét tứ giác AEBM có: 
ED = DM ( gt ) 
DB = AD ( gt ) 
=> Tứ giác AEBM là hình bình hành ( D/h 5 ) 
mà AB vuông góc EM 
=> hbh AEBM là hình thoi ( D/h 3 ) 
d) Ta có : AM = 1/2BC ( trung tuyến ứng với cạnh huyền) 
=> AM = 1/2 . BC = 1/2. 5 = 2,5 (cm) 
Chu vi hình thoi AEBM: 
2,5 . 4 =10 (cm) 
e) Nếu AEBM là hình vuông 
thì Â= Ê= góc B= góc M= 90 độ 
=>AM vuông góc BC 
=> AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao tam giác ABC 
=> Tam giác ABC vuông cân tại A 
Vậy tam giác ABC vuông cân ở A thì AEBM là hình vuông