a) Gọi M là trung điểm của BC nên:

Ta có:

vì

Mặt khác, do D là trung điểm của đoạn AM nên

Khi đó:

b) Ta có:

luôn đúng theo câu a

Vậy: , với O là điểm tùy ý

a)\(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\)

\(=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{DC}\)

\(=2\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O}\)(ĐPCM)

b) \(20\overrightarrow{A}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)

\(=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DO}\)

\(=20\overrightarrow{A}-20\overrightarrow{A}+4\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OD}\)(ĐPCM)

Lần sau nhớ thêm dấu vector vào cho dễ nhìn bạn nha :))

a) M là trung điểm BC \(\Rightarrow2\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow2\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\)

 D là trung điểm AM \(\Rightarrow\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{MD}\)

\(2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\)

b) M là trung điểm BC \(\Rightarrow2\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)

D là trung điểm AM \(\Rightarrow2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM}\Rightarrow4\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\)

a) Ta có: \(AD=\dfrac{1}{2}DC\)(gt)

mà \(EC=ED=\dfrac{DC}{2}\)(E là trung điểm của DC)

nên AD=EC=ED

b) Xét ΔCDB có 

M là trung điểm của BC(gt)

E là trung điểm của CD(gt)

Do đó: ME là đường trung bình của ΔCDB(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

Suy ra: ME//BD và \(ME=\dfrac{1}{2}BD\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

hay ME//ID

Xét tứ giác MEDB có ME//BD(cmt)

nên MEDB là hình thang có hai đáy là ME và BD(Định nghĩa hình thang)

c) Xét ΔAME có 

D là trung điểm của AE(AD=DE, D nằm giữa A và E)

DI//ME(cmt)

Do đó: I là trung điểm của AM(Định lí 1 về đường trung bình của tam giác)

hay IA=IM(Đpcm)

\(a.\) Ta có: DA=\(^{\dfrac{1}{2}DC=DE=EC}\) (đpcm)

\(b.\) Xét tam giác DBC có:

\(\left\{{}\begin{matrix}DE=CE\\BM=CM\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ME là đường trung bình tam giacs DBC

\(\Rightarrow ME\)//\(BD\) \(\Rightarrow\) DEMB là hình thang

\(c.\)Vì \(\Rightarrow ME\)//\(BD\) nên ME // ID

Xét tam giác AMD có: \(\left\{{}\begin{matrix}ME\backslash\backslash ID\\AD=DC\end{matrix}\right.\)

=> ME là đường trung bình tam giác AMD hay I là trung điểm MA

\(\Rightarrow IA=IM\) (đpcm)

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có :

AB = AC 

BM =CM

Am chung

=> Tam giác ABM = tam giác ACM ( c.c.c )

=> Góc BAM = góc CAM

=> AM là phân giác góc BAC

Mà D thuộc AM

=> D cách đều AB và AC ( đpcm )

câu B cũng dùng cái TÍNH CHẤT chung đường cao và c/m những cái sau nhé:

S_AMC=1/2S_ABC

S_BCD=2/3S_ABC(DO AD=1/2CD MÀ AD+CD=AC=>CD=2/3 AC)

=>S_AMC=3/4S_BCD(3)

S_CID=2/3S_AIC(DO CD=2/3AC)

S_AIC=1/2S_AMC

=>S_CID=1/3S_AMC(4)

TỪ 3 VÀ 4=>S_CID=1/4S_BCD

DO 2 TAM GIÁC CHUNG ĐƯỜNG CAO TỪ C->BD

=>ID=1/4BC

DO ID+DB=BC

=>BD=1-1/4=3/4BC

=>BD/ID=3