a.Có MA,MB là tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M (gt)
=> MA=MB
Có MA,MC là tiếp tuyến của (O') cắt nhau tại M (gt)
=> MA=MC
Bắc cầu ta được MA=MB=MC

Đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax và Ay nên tâm O của (O) nằm trên tia phân giác của góc xAy

Đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax và Ay nên tâm O của (O) nằm trên tia phân giác của góc xAy. (Xem lại Bài 28 trang 116 SGK Toán 9 Tập 1) . Do đó ta có cách dựng:

- Dựng tia phân giác At của góc xAy.

- Dựng đường thẳng Bz qua B và vuông góc với tia Ax.

- Giao điểm O của At và Bz là tâm của đường tròn cần dựng.

- Dựng đường tròn tâm O, bán kính R = OB, ta được đường tròn cần dựng.

a ) .Xét t/g ABM và t/g NBM có:

AB là đường kính của đường trong (O)

nên : góc ABM = góc NMB = 90 độ

M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC 

nên : góc ABM = góc MBN=>góc BAM  = góc BNM

=> t/g BAN cân tại đỉnh B

Tứ giác AMCB nội tiếp 

=> góc BAM = góc MCN ( cùng bù với góc MCB )

=> góc MCN = góc MNC ( cùng bằng góc BAM)

=> t/g MCN cân tại đỉnh M

b) .

Xét t/g MCB và t/g MNQ ta có:

MC = MN ( theo cm trên : MCN cân)  ; MB =MQ ( theo giả thiết)

góc BMC = góc MNQ ( vì : góc MCB = góc MNC ; góc MBC = góc MQN ).

=> t/g MCB = t/g MNQ ( c.g.c ) => BC = NQ

Xét t/g vuông ABQ ta có:

AC vuông góc BQ => \(AB^2=BC.BQ=BC.\left(BN+NQ\right)\)

=> \(AB^2=BC.\left(AB+AC\right)=BC.\left(BC+2R\right)\)

=> \(4R^2=BC\left(BC+2R\right)\Rightarrow BC=\left(\sqrt{5}-1\right)R\)

Cách dựng:
– Dựng tia phân giác At của góc xAy
– Dựng đường thẳng Bz qua B và vuông góc với tia Ax
– Giao điểm O của At và Bz là tâm của đường tròn cần dựng.
– Dựng đường tròn tâm O, bán kính R = OB, ta được đường tròn cần dựng.