\(A=\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}\)\(+5\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}\)\(+8\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}\)

\(=\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}\)\(+5\sqrt{x-1-4\sqrt{x-1}+4}\)\(+8\sqrt{x-1-6\sqrt{x-1}+9}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}\)\(+5\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2}\)\(+8\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-3\right)^2}\)

\(=\sqrt{x-1}-1+5\sqrt{x-1}-10+8\sqrt{x-1}-24\)

\(=16\sqrt{x-1}-35\)

\(A_{min}=-35\Leftrightarrow16\sqrt{x-1}=0\Rightarrow x=1\)

ĐKXĐ: x > 1

\(A=\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}\)

 \(=\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1+6\sqrt{x-1}+9}\)

 \(=\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+3\right)^2}\)

 \(=\left|\sqrt{x-1}-1\right|+\left|\sqrt{x-1}+3\right|\)

 \(=\left|1-\sqrt{x-1}\right|+\sqrt{x-1}+3\ge1-\sqrt{x-1}+\sqrt{x-1}+3=4\)

\(\text{Dấu "=" xảy ra }\Leftrightarrow1-\sqrt{x-1}\ge0\)

                            \(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\le1\)

                            \(\Leftrightarrow x-1\le1\)

                           \(\Leftrightarrow x\le2\)

\(\text{Kết hợp ĐKXĐ ta được }1\le x\le2\)

\(\text{Vậy}\)\(A_{min}=4\Leftrightarrow1\le x\le2\)

1) Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có

 \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x^3\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.x^3}=4\) (1)

\(\dfrac{3}{y^2}+y^2\ge2\sqrt{\dfrac{3}{y^2}.y^2}=2\sqrt{3}\) (2)

\(\dfrac{3}{z^3}+z=\dfrac{3}{z^3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{z^3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}=4\sqrt{3}\) (3)

Cộng (1);(2);(3) theo vế ta được

\(\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{3}{z^3}\right)+\left(x^3+y^2+z\right)\ge4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\right)\ge3+4\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=x^3\\\dfrac{3}{y^2}=y^2\\\dfrac{3}{z^3}=\dfrac{z}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\sqrt[4]{3}\\z=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn giả thiết ban đầu)

2) Ta có \(4\sqrt{ab}=2.\sqrt{a}.2\sqrt{b}\le a+4b\)

Dấu"=" khi a = 4b

nên \(\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}\ge\dfrac{8}{7a+4b+a+4b}=\dfrac{1}{a+b}\)

Khi đó \(P\ge\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)

Đặt \(\sqrt{a+b}=t>0\) ta được

\(P\ge\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}+t=\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1\right)+\dfrac{1}{t}+t-1\)

\(=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\)

Có \(\dfrac{1}{t}+t\ge2\sqrt{\dfrac{1}{t}.t}=2\) (BĐT Cauchy cho 2 số dương)

nên \(P=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\ge\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{t}-1=0\\t=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1\)(tm)

khi đó a + b = 1

mà a = 4b nên \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)

Vậy MinP = 1 khi \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)

Ta có : \(x+3-4\sqrt{x-1}=\left(\sqrt{x-1}-2\right)^2\)và \(x+15-8\sqrt{x-1}=\left(\sqrt{x-1}-4\right)^2\)
Suy ra: B=\(\sqrt{x-1}-2+\sqrt{x-1}-4=2\sqrt{x-1}-6\)
Ta lại có : \(x-1\ge0\)=>\(B\ge-6\)dấu ''='' xảy ra khi: x-1=0 <=>x=1
Vậy minB=-6 khi x=1

a) \(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\dfrac{8\sqrt{x}+24}{x-9}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)+8\sqrt{x}+24}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{x+3\sqrt{x}+8\sqrt{x}+24}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+8\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}+8}{\sqrt{x}-3}\) (đpcm)

b) Mình không biết làm bạn thông cảm.

a)P=(x + căn x +1)/căn x
b)x=4 rồi thay vào
c)(x + căn x +1)/ căn x= căn x +1 +(1/căn x)
   A/d BĐT Cô-Si => căn x +(1/căn x) >=2 => P>=3
Dấu "=" xảy ra <=> căn x= 1/căn x <=> x=1
d) bạn tự giải ra nhé

Bài 1:

$\sqrt{x-4}-2$
ĐKXĐ: $x\geq 4$
Ta thấy $\sqrt{x-4}\geq 0$ với mọi $x\geq 4$
$\Rightarrow \sqrt{x-4}-2\geq 0-2=-2$
Vậy gtnn của biểu thức là $-2$. Giá trị này đạt được tại $x-4=0$

$\Leftrightarrow x=4$

Bài 2: $x-\sqrt{x}$

ĐKXĐ: $x\geq 0$

$x-\sqrt{x}=(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4})-\frac{1}{4}=(\sqrt{x}-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}$

$\geq 0-\frac{1}{4}=\frac{-1}{4}$
Vậy gtnn của biểu thức là $\frac{-1}{4}$. Giá trị này đạt được khi $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

Bài 3:

$x-4\sqrt{x}+10$

ĐKXĐ: $x\geq 0$

Ta có: $x-4\sqrt{x}+10=(x-4\sqrt{x}+4)+6=(\sqrt{x}-2)^2+6\geq 0+6=6$

Vậy gtnn của biểu thức là $6$. Giá trị này đạt được khi $\sqrt{x}-2=0\Leftrightarrow x=4$

Lời giải:

Áp dụng BĐT Mincopxky:

\(y=\sqrt{x^2+4x+8}+\sqrt{x^2-4x+8}=\sqrt{(x+2)^2+4}+\sqrt{(x-2)^2+4}\)

\(=\sqrt{(x+2)^2+2^2}+\sqrt{(2-x)^2+2^2}\geq \sqrt{(x+2+2-x)^2+(2+2)^2}\)

\(=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\)

Vậy $y_{\min}=4\sqrt{2}$ khi $x=0$