Gọi giao điểm cua BP và AR là S

Xét tam giác BPH có:

BH=PH(giả thiết)

 góc BHP=90"(vì AH là đường cao)

=>tam giác BHP vuông cân tại H=>góc BPH=45'=>góc APS=45"   (1)

Tương tự ta cũng có tam giác AHR vuông cân tại H=>góc HAS=45"  (2)

Cộng từng về của (1) và (2) =>góc ASP=90"

Hay BP vông góc với AR

Xét tam giác BAR có

BP vuông góc với AR(cmt)

AH vuông góc Với BC(giả thiết)

BP cắt AH tại P=>P là trực tâm của tam giác BAR

Hình vẽ: https://imgur.com/4l52wae

Giải:

Gọi G là gio điểm của BP và AR

Góc AHR = 90 độ mà HA = HR nên tam giác HAR vuông cân tại H => góc HAR = góc HRA = 45 độ

Góc PHB = 90 độ mà HP = HB nên tam giác HPB vuông cân tại H => góc HPB = góc HBP = 45 độ

Mà góc APG = góc HPB (đối đỉnh) nên góc APG = 45 độ

=> góc AGP = 180 - 45 - 45 = 90 (độ) 

=> BG là đường cao của tm giác ABR 

Mà BG cắt AH tại P nên P là trực tâm tam giác BAR

 Hình bạn tự vẽ nha ☺️

Xét∆ HBP vuông cân tại H (HB = HP)

➡️góc HBP = góc BPH = 45°

Xét ∆ HAC vuông cân tại H (HA = HC)

➡️Góc HAC = góc HCA = 45°

Gọi giao điểm của BP và CA là E

Xét ∆ BCE có: 

Góc HBP + góc HCA + góc BEC = 180°

➡️Góc BEC = 180° - 45° - 45° = 90°

Vậy CA vuông góc với BP

Xét ∆ BAR có:

AH vuông góc với BC

BE vuông góc với AC

AH và BE giao nhau tại P

➡️P là trực tâm ∆ BAR

Học tốt!😉

a, Xét ∆AHC và ∆DHC có:

+CH chung

+\(\widehat{CHA}=\widehat{CHD}\left(=90^o\right)\)

+HA=HC(gt)

\(\Rightarrow\)∆HCA=∆HCD(ch-cgv)

a/ Xét tg vuông AHC và tg vuông DHC có

HC chung

HA = HD (gt)

=> tg AHC = tg DHC (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau)

b/ K là giao của AE và CD

Xét tg vuông ABC có

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với góc \(\widehat{ABC}\) ) (1)

tg AHC = tg DHC (cmt) => \(\widehat{DCH}=\widehat{ACB}\) (2)

Xét tg vuông ABH và tg vuông AEH có

AH chung; HB = HE (gt) => tg ABH = tg AEH (hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau) \(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{EAH}\) (3)

Từ (1) (2) (3) => \(\widehat{EAH}=\widehat{DCH}\) (4)

Xét tg vuông AHE có

\(\widehat{EAH}+\widehat{AEH}=90^o\) (5)

Mà \(\widehat{AEH}=\widehat{CEK}\) (góc đối đỉnh) (6)

Từ (4) (5) (6) \(\Rightarrow\widehat{DCH}+\widehat{CEK}=90^o\Rightarrow\widehat{AKC}=90^o\)

\(\Rightarrow AK\perp CD\) mà \(CH\perp AD\) => E là trực tâm của tg ADC 

c/

tg ABH = tg AEH (cmt) => AB = AE

tg AHC = tg DHC (cmt) => AC = CD

Xét tg ABC có

\(AB+AC>BC\) (trong tg tổng độ dài 2 cạnh lớn hớn độ dài cạnh còn lại)

\(\Rightarrow AE+CD>BC\)

a) Xét \(\Delta\)AHC: ^AHC=90\(^0\)và AH=HC => \(\Delta\)AHC vuông cân tại H 

 => ^HAC=^HCA=45\(^0\)hay ^DCB=45\(^0\)(1)

  Xét \(\Delta\)BHI: ^BHI=90\(^0\)và HB=HI => \(\Delta\)BHI vuông cân tại H

=> ^HBI=^HIB=45\(^0\)hay ^DBC=45\(^0\)(2)

Từ (1) và (2) => ^DCB=^DBC=45\(^0\)=> \(\Delta\)BDC vuông cân tại D

=> BD \(⊥\)AC hay IB \(⊥\)AC tại D (đpcm)

 => BD là đường cao của \(\Delta\)ABC

 AH cũng là đường cao của \(\Delta\)ABC . Mà BD gia AH tại I => I là trọng tâm của \(\Delta\)ABC

b) Nối điểm H với 2 điểm P và Q

Q là trung điểm của AC => HQ là trung tuyến của \(\Delta\)AHC. Mà \(\Delta\)AHC vuông cân

=> HQ đồng thời là đường cao của \(\Delta\)AHC=> HQ \(⊥\)AC .Mà BD \(⊥\)AC

=> HQ // BD hay HQ // PD (P thuộc BD) (Quan hệ song song vuông góc)

Tương tự: P là trung điểm của BI và \(\Delta\)BHI vuông cân tại H

=> HP là đường cao của \(\Delta\)BHI => HP\(⊥\)BD. Mà DC\(⊥\)BD tại D => HP//DC (Quan hệ song song vuông góc)

=> HP//DQ (Q thuộc  DC)

Ta có: HQ//PD và HP//DQ => HQ=PD và HP=DQ (Tính chất đoạn chắn)

Lại có: HQ đồng thời là đường phân giác của \(\Delta\)AHC=> ^QHA=^QHC=^AHC/2=90\(^0\)/2=45\(^0\)

Mà ^QCH=45\(^0\)=> ^QHC=^QCH=45\(^0\)=> \(\Delta\)HQC vuông cân tại Q => QC=HQ (3)

Tương tự với \(\Delta\)BHI có: \(\Delta\)BHP vuông cân tại P=> PH=BP (4)

Ta có: PD+BP=BD (5) 

Thế (3) và (4) vào (5), ta có: QC+PH=BD (đpcm) 

k cho mk nhé!

cho tam giác abc vuông ở a, đường cao ah.biết bh:ch=1:3, ah=12cm. tính bc

mình gửi lộn  xl