Question

Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Trên AH lấy điểm P sao cho PH=BH. Trên HC lấy điểm R sao cho HR=AH. CM: P là trực tâm của ΔBAR

Answer 1

Gọi giao điểm của BP với AR là I

+, Xét tam giác HBP vuông cân tại H và tam giác HAR vuông cân tại H ta có:

\(\widehat{BPH}=\widehat{RAH}=45^o\) (theo tính chất của tam giác vuông cân)

mà \(\widehat{BPH}=\widehat{API}\left(d.d\right)\) \(\Rightarrow\widehat{API}=45^o\)

+, Xét tam giác API ta có:

\(\widehat{AIP}=180^o-\widehat{IAP}-\widehat{IPA}=180^o-45^o-45^o=90^o\)

(theo tính chất tổng 3 góc trong tam giác)

\(\Rightarrow BP\perp AR=\left\{I\right\}\)

Mặt khác \(BI\cap AH=\left\{P\right\}\)

Do đó P là trực tâm tam giác ABR(đpcm)