Lời giải:

Theo định lý Bezout về phép chia đa thức thì số dư của \(f(x)=2x^3+ax+b\) cho \(x+1\) và \(x-2\) lần lượt là \(f(-1)\) và \(f(2)\)

Do đó:

\(\left\{\begin{matrix} f(-1)=-2-a+b=-6\\ f(2)=16+2a+b=21\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} -a+b=-4\\ 2a+b=5\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=3\\ b=-1\end{matrix}\right.\)

a) x^4 - x^3 + ax + b chia  cho x^2 -x - 2 dư 2x - 3 

=> x^4 - x^3 + ax + b = ( x^2 - x - 2 ) q(x) + 2x - 3 

=> x^4 - x^3 + ax + b = (  x + 1 )(x- 2 ) q(x) + 2x - 3 

Thay x = 2 ta có :

       2^4 - 2^3 + 2a + b = 0 + 2.2 - 3

        16  - 8 + 2a + b = 1

          8 + 2a + b = 1 

               2a + b     = -7 => b = -7 - 2a 

Thay x = -1 ta có :

           (-1)^4 - (-1)^3 + (-1).a + b = 0 + 2(-1) - 3

            1 + 1 - a + b                = -2 - 3

                2 - a + b                = -5

                  -a + b                  = - 7 

Thay b = -7 - 2 a ta có :

                  -a + -7 - 2a             = -7

                     -3a - 7                  = -7

                        -a                        = 0

                         a = 0 

b = - 7 -2a = -7 - 0 = -7 

Vậy a = 0 ; b = -7 

gọi thưong trong phép chia trên là Q(x)

theo bài ra ta có

5x^3+2x^2+ax+b=(x^2+5).Q(x)+1 với mọi x (*)

thay x^2+5=0 vào (*) ta có

5x^3+2x^2+ax+b=1    (1)

mặt khác vì x^2+5=0 

<=>5x(x^2+5)+2(x^2+5)=5x^3+2x^2+25x+10=0     

<=>5x^3+2x^2+25x+11=1    (2) 

từ (1) và (2) 

<=>ax+b=25x+11

<=>a=25

      b=11

vậy a=25 b=11 thì 5x^3+2x^2+ax+b chia cho x^2+5 dư 1