Sửa đề: \(P=x^{2008}+y^{2009}+z^{2010}\)

Ta có: x+y+z=1

nên \(\left(x+y+z\right)^3=1\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=1\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+1=1\)

\(\Leftrightarrow3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)

mà 3>0

nên \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\x+z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\x=-z\end{matrix}\right.\)

Thay x=-y vào biểu thức \(x+y+z=1\), ta được:

\(-y+y+z=1\)

hay z=1

Thay x=-y và z=1 vào biểu thức \(x^2+y^2+z^2=1\), ta được:

\(\left(-y\right)^2+y^2+1=1\)

\(\Leftrightarrow y^2+y^2=0\)

\(\Leftrightarrow2y^2=0\)

hay y=0

Vì x=-y

và y=0

nên x=0

Thay x=0; y=0 và z=1 vào biểu thức \(P=x^{2008}+y^{2009}+z^{2010}\), ta được:

\(P=0^{2008}+0^{2009}+1^{2010}=1\)

Vậy: P=1

+) Ta có:

A = 2007 x 2009 = 2007 x 2008 + 2007 

B = 2008 x 2008 = 2007 x 2008 + 2008

Do 2007 < 2008 => 2007 x 2008 + 2007 < 2007 x 2008 + 2008

=> A < B

+) Ta có: 

A = 2006 x 2010 = 2006 x 2008 + 2006 x 2

B = 2008 x 2008 = 2008 x 2006 + 2008 x 2

Do 2006 x 2 < 2008 x 2 => 2006 x 2008 + 2006 x 2 < 2008 x 2006 + 2008 x 2

=> A < B

B=2008 x 2008 = (2007+1) x (2009-1)=2007 x 2009 +2009-2007-1=2007 x 2009+1 >A=2007 x 2009

B=2008 x 2008 = (2006+2) x (2010-2)=2007 x 2009 +2009 x 2-2007 x 2-4=2007 x 2009+4 >A=2006 x 2010

+ Ta có : A = 2007 x 2009

              = (2008 - 1) x (2008 + 1)

             = 2008 x 2008 + 2008 - 2008 - 1

             = 2008 x 2008 - 1 

             < 2008 x 2008 = B

=> A < B

+ Ta có : A = 2006 x 2010

      = (2008 - 2) x (2008 + 2)

      = 2008 x 2008 + 4016 - 4016 - 4

      = 2008 x 2008 - 4

      < 2008 x 2008 = B

=> A < B