a: Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>BD//CH

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

=>CD//BH

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD

BD//CH

Do đó: BHCD là hình bình hành

b: BHCD là hình bình hành

nên BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của HD

Xét ΔDAH có DI/DH=DO/DA

nen Io//AH và IO=AH/2

=>AH=2OI

a: Xét (O) có

ΔABM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔABM vuông tại B

=>BM\(\perp\)AB

mà CH\(\perp\)AB

nên CH//BM

Xét (O) có

ΔACM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔACM vuông tại C

=>AC\(\perp\)CM

mà BH\(\perp\)AC

nên BH//CM

Xét tứ giác BHCM có

BH//CM

BM//CH

Do đó: BHCM là hình bình hành

b:

Xét ΔABC có

BE,CF là các đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC tại D

Xét (O) có

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\widehat{AMC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\)

Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{BAN}=90^0\)(ΔADB vuông tại D)

\(\widehat{AMC}+\widehat{MAC}=90^0\)(ΔACM vuông tại C)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AMC}\)

nên \(\widehat{BAN}=\widehat{MAC}\)

Xét (O) có

ΔANM nội tiếp

AM là đường kính

Do đó: ΔANM vuông tại N

=>AN\(\perp\)NM

mà AN\(\perp\)BC

nên BC//NM

Ta có: \(\widehat{CHD}=\widehat{ABC}\)(=90 độ-góc FCB)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ANC}\)

Do đó: \(\widehat{CHD}=\widehat{ANC}\)

=>ΔCHN cân tại C

=>CH=CN

mà CH=BM

nên BM=CN

Xét tứ giác BCMN có BC//MN

nên BCMN là hình thang

Hình thang BCMN có BM=CN

nên BCMN là hình thang cân

hello

b) Xét tứ giác BFHD có 

\(\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=180^0\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Suy ra: \(\widehat{FBH}=\widehat{FDH}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung FH)

hay \(\widehat{ABE}=\widehat{FDH}\)(1)

Xét tứ giác CDHE có 

\(\widehat{CDH}+\widehat{CEH}=180^0\)

nên CDHE là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Suy ra: \(\widehat{HDE}=\widehat{ECH}\)(Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH)

hay \(\widehat{HDE}=\widehat{ACF}\)(2)

Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có 

\(\widehat{FAC}\) chung

Do đó: ΔABE\(\sim\)ΔACF(g-g)
Suy ra: \(\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat{FDH}=\widehat{EDH}\)

hay DH là tia phân giác của \(\widehat{EDF}\)

a: Xét tứ giác BDHF có 

\(\widehat{BDH}+\widehat{BFH}=180^0\)

Do đó: BDHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BCEF có

\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

Do đó: BCEF là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔAEB∼ΔAFC

Suy ra: AE/AF=AB/AC

hay \(AE\cdot AC=AB\cdot AF\)