Cô-si Engel :

\(P=\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{a+b+c+6}=\frac{a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)}{a+b+c+6}\)

\(\ge\frac{a+b+c+2.3\sqrt[3]{\sqrt{ab}.\sqrt{bc}.\sqrt{ac}}}{a+b+c+6}=\frac{a+b+c+6\sqrt[3]{abc}}{a+b+c+6}=\frac{a+b+c+6}{a+b+c+6}=1\)

Nguyễn Linh Chi Thanks cô,e đổi biến lộn ạ:(

Đặt \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\)

Ta có:

\(P=\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\)

\(=\frac{1}{1+\frac{2}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2}{b}}+\frac{1}{1+\frac{2}{c}}\)

\(=\frac{1}{1+\frac{2y}{x}}+\frac{1}{1+\frac{2z}{y}}+\frac{1}{1+\frac{2x}{z}}\)

\(=\frac{x}{x+2y}+\frac{y}{y+2z}+\frac{z}{z+2x}\)

\(=\frac{x^2}{x^2+2xy}+\frac{y^2}{y^2+2yz}+\frac{z^2}{z^2+2zx}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)

Do \(abc=1\) nên tồn tại các số x,y,z sao cho \(a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\)

Khi đó:

\(\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\)

\(=\frac{1}{1+\frac{2}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2}{b}}+\frac{1}{1+\frac{2}{c}}\)

\(=\frac{1}{a+\frac{2b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2c}{b}}+\frac{1}{1+\frac{2a}{c}}\)

\(=\frac{a}{a+2b}+\frac{b}{b+2c}+\frac{c}{c+2a}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)

Ta có

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge9\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{2014}{6}=\frac{1007}{3}\)

Bài này mk làm đc tưf bữa mới đăng lên r ..

\(\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=1\)

\(\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{1}=1\)

1/2 + 1/3 + 1/6 =1

Kích nha

4/ Xét hiệu: \(P-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=5a^2+11b^2+5c^2-2\left(ab+7bc+ca\right)\)

\(=\frac{\left(5a-b-c\right)^2+6\left(3b-2c\right)^2}{5}\ge0\)

Vì vậy: \(P\ge2\left(ab+7bc+ca\right)=2.188=376\)

Đẳng thức xảy ra khi ...(anh giải nốt ạ)

@Cool Kid:

Bài 5: Bản chất của bài này là tìm k (nhỏ nhất hay lớn nhất gì đó, mình nhớ không rõ nhưng đại khái là chọn k) sao cho: \(5a^2+11b^2+5c^2\ge k\left(ab+7bc+ca\right)\)

Rồi đó, chuyển vế, viết lại dưới dạng tam thức bậc 2 biến a, b, c gì cũng được rồi tự làm đi:)

í lộn, bài 4:v Bài 3 thấy quen quen, đợi chút em lục lại@Hoàng Quốc Tuấn