Theo bài ra ta có : 

\(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{2a+b+c+d}{a}-1=\frac{a+2b+c+d}{b}-1=\frac{a+b+2c+d}{c}-1=\frac{a+b+c+2d}{d}-1\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)

Nếu a + b + c + d = 0

\(\Rightarrow\frac{0}{a}=\frac{0}{b}=\frac{0}{c}=\frac{0}{d}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=b=c=d\\a\ne b\ne c\ne d\end{cases}}\)(loại) 

Nếu a + b + c + d \(\ne\)0

=> \(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}=\frac{1}{d}\)

=> a = b = c = d (đpcm)

Ta có :

a + c = 2b         (1)

2bd = c.(b+d)     (2)

Thế (1) vào (2) , ta được;

(a+c).d = c.(b+d)

Thao tính chất phân phối, ta có:

ad + cd = cb + cd

\(\Rightarrow\) ad = cb \(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)( đpcm)

a + c = 2b         (1)

2bd = c.(b+d)     (2)

Thế (1) vào (2) , ta được;

(a+c).d = c.(b+d)

Thao tính chất phân phối, ta có:

ad + cd = cb + cd

$\Rightarrow$⇒ ad = cb $\Rightarrow$⇒$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ab =cd ( đpcm)

a + c = 2b         (1)

2bd = c.(b+d)     (2)

Thế (1) vào (2) , ta được;

(a+c).d = c.(b+d)

Thao tính chất phân phối, ta có:

ad + cd = cb + cd

$$ ad = cb $$$$( đpcm)

\(2bd=c\left(b+d\right)\Rightarrow2b=\frac{c\left(b+d\right)}{d}\)

\(\Rightarrow a+c=\frac{c\left(b+d\right)}{d}\Rightarrow\frac{a+c}{c}=\frac{b+d}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}+1=\frac{b}{d}+1\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)

Ta có: 

\(a+c=2b_{\left(1\right)}\)

\(2bd=c\left(b+d\right)_2\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)\(\Rightarrow\)\(\left(a+c\right).d=c.\left(b+d\right)\)

\(\Rightarrow\)\(ad+cd=cb+cd\)( tính chất phân phối )

\(\Rightarrow\)\(ad=bc\)( rút gọn cả 2 vế cho \(cd\))

\(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)( tính chất cơ bản của tỉ lệ thức )

\(\Rightarrow\)\(\left(đpcm\right)\)

\(a,\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

có : \(\frac{a}{a+b}=\frac{bk}{bk+b}=\frac{bk}{b\left(k+1\right)}=\frac{k}{k+1}\)

\(\frac{c}{c+d}=\frac{dk}{dk+d}=\frac{dk}{d\left(k+1\right)}=\frac{k}{k+1}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}\)

cứ đặt dạng tổng quát rồi làm tương tự

\(\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-2b}{c-2d}\)

Suy ra: \(\left(a+b\right)\left(c-2d\right)=\left(c+d\right)\left(a-2b\right)\)

\(\Rightarrow a\left(c-2d\right)+b\left(c-2d\right)=c\left(a-2b\right)+d\left(a-2b\right)\)

\(\Rightarrow ac-2ad+bc-2bd=ac-2bc+ad-2bd\)

\(\Rightarrow ac-2ad+bc=ac-2bc+ad\)

\(\Rightarrow2ad+bc=2bc+ad\)

\(\Rightarrow2ad-ad=2bc-bc\)

\(\Rightarrow ad=bc\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\left(đpcm\right)\)