a: \(AH=\sqrt{1.8\cdot3.2}=2.4\left(cm\right)\)

AB=3(cm)

AC=4(cm)

Lời giải:
a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: 

$144=AH^2=BH.HC(1)$

$BH+CH=BC=25(2)$

Từ $(1); (2)$ áp dụng định lý Viet đảo thì $BH, CH$ là nghiệm của pt: $x^2-25x+144=0$

$\Rightarrow BH, CH= (16,9)$

Mà $AB< AC$ nên $BH< CH$

$\Rightarrow BH=9; CH=16$ (cm) 

$AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$ (cm) 

$AC=\sqrt{CH^2+AH^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20$ (cm)

b. 

$AM=\frac{BC}{2}=\frac{25}{2}$ (cm) 

$\sin \widehat{AMH}=\frac{AH}{AM}=\frac{24}{25}$

$\Rightarrow \widehat{AMH}\approx 74^0$

c. 

$HM=\sqrt{AM^2-AH^2}=\sqrt{(\frac{25}{2})^2-12^2}=3,5$ (cm) 

$S_{AHM}=\frac{AH.HM}{2}=\frac{12.3,5}{2}=21$ (cm²)

Hình vẽ:

Ta có: AH^2=9*16=> AH=12

xét tam giac ABH vg có AB^2=AH^+BH^2=>AB=15

a: Đặt BH=x; CH=y(x<y)

Theo đề, ta có: xy=12^2=144 và x+y=48

=>x,y là các nghiệm của phương trình:

x^2-48x+144=0

=>x=24-12 căn 3 hoặc x=24+12căn 3

=>BH=24-12căn 3 và CH=24+12căn 3

\(AB=\sqrt{\left(24-12\sqrt{3}\right)\cdot48}\simeq12,42\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{\left(24+12\sqrt{3}\right)\cdot48}\simeq46,36\left(cm\right)\)

b: AM=BC/2=24cm

sin AMH=AH/AM=12/24=1/2

=>góc AMH=30 độ

a)Xét tam giác ABC có A=90 

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{16^2+12^2}=20\left(cm\right)\)

Mà AD là tia phân giác BAC nên\(\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có:

\(\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}=\frac{AB+AC}{BD+CD}=\frac{7}{5}\)

\(\Rightarrow BD=\frac{60}{7}\left(cm\right),\\CD=\frac{80}{7}\left(cm\right)\)

b) Dễ c.m được \(\Delta ABH\)đồng dạng với \(\Delta CBA\)

\(\Leftrightarrow\frac{AB}{CB}=\frac{BH}{BA}=\frac{AH}{CA}\Leftrightarrow\frac{12}{20}=\frac{BH}{12}=\frac{AH}{16}\)

\(\Rightarrow BH=\frac{36}{5}\left(cm\right),\\ AH=\frac{48}{5}\left(cm\right)\\ \Rightarrow CH=\frac{64}{5}\left(cm\right)\)

Mà CD=80/7 nên HD=48/35(cm)

Xét AHD vuông tại H

nên\(AD=\sqrt{\frac{48}{35}^2+\frac{48}{5}^2}=\frac{48\sqrt{2}}{7}\left(cm\right)\)

Nếu có sai mong bạn thông cảm nha

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AC^2=5^2-3^2=16\)

=>AC=căn 16=4

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot5=3\cdot4=12\)

=>AH=12/5=2,4

b: Ta có: ΔBAE cân tại B

mà BC là đường cao

nên BC là phân giác của góc ABE

Xét ΔBAC và ΔBEC có

BA=BE

\(\widehat{ABC}=\widehat{EBC}\)

BC chung

Do đó: ΔBAC=ΔBEC

=>\(\widehat{BAC}=\widehat{BEC}\)

=>\(\widehat{BEC}=90^0\)

=>CE\(\perp\)EB tại E

Xét (B) có

BE là bán kính

CE vuông góc BE tại E

Do đó: CE là tiếp tuyến của (B;BA)

ΔCBA=ΔCBE

=>CA=CE
mà CA=4

nên CE=4

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

góc B chung

Do đó:ΔABC\(\sim\)ΔHBA

b: XétΔHBA vuông tại H và ΔHAC vuông tại H có

\(\widehat{HBA}=\widehat{HAC}\)

Do đó: ΔHBA\(\sim\)ΔHAC

=>HB/HA=HA/HC

hay \(HA^2=HB\cdot HC\)

c: \(BC=\sqrt{6^2+8^2}=10\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=4.8\left(cm\right)\)

còn câu d thui

a: Xet ΔAHD vuông tại H và ΔAKD vuông tại K co

AD chung

góc HAD=góc KAD

=>ΔAHD=ΔAKD

b: góc BAD+góc CAD=90 độ

góc BDA+góc DAH=90 độ

góc CAD=góc DAH

=>góc BAD=góc BDA
=>ΔBAD cân tại B