a) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(GM = \dfrac{1}{3}AM\)

Kẻ \(BP \bot AM\) ta có

 \(\begin{array}{l}{S_{GMP}} = \dfrac{1}{2}BP.GM\\{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}BP.AM\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{GMP}}}}{{{S_{ABM}}}} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{GMP}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABM}}\)(1)                         

Tương tự, kẻ \(CN \bot AM\), ta có  

\(\begin{array}{l}{S_{GMC}} = \dfrac{1}{2}CN.GM\\{S_{ACM}} = \dfrac{1}{2}CN.AM\\ \Rightarrow \dfrac{{{S_{GMC}}}}{{{S_{ACM}}}} = \dfrac{{GM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow {S_{GMC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ACM}}\left( 2 \right)\end{array}\)

Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có: 

\(\begin{array}{l}{S_{GMB}} + {S_{GMC}} = \dfrac{1}{3}\left( {{S_{AMC}} + {S_{ABM}}} \right)\\ \Rightarrow {S_{GBC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\end{array}\)

b) 

Ta có

\(\begin{array}{l}{S_{GAB}} = \dfrac{1}{2}BP.AG\\{S_{GAC}} = \dfrac{1}{2}CN.AG\end{array}\)

Xét \(\Delta BPM\) và \(\Delta CNM\) có:

\(\widehat {BPM} = \widehat {CNM} = {90^0}\)

 BM = CM ( M là trung điểm của BC)

\(\widehat {PMB} = \widehat {CMN}\)(2 góc đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta BPM = \Delta CNM\)(cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow \) BP = CN (cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow {S_{GAB}} = {S_{GAC}}\)

Ta có: \(AG = \dfrac{2}{3}AM\)

\(\begin{array}{l}{S_{ACB}} = {S_{GAB}} + {S_{GAC}} + {S_{GCB}}\\ \Rightarrow {S_{ACB}} = {S_{GAB}} + {S_{GAC}} + \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}\\ \Rightarrow \dfrac{2}{3}{S_{ABC}} = 2{S_{GAC}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{3}{S_{ABC}} = {S_{GAC}} = {S_{GAB}}\end{array}\)

Qua 2 điểm B và C kẻ đường thẳng song song với đường thẳng d cắt tia AG lần lượt tại E và F

Gọi AI là trung tuyến của \(\Delta\)ABC

Theo ĐL Thales ta có các tỉ số: \(\frac{AB}{AM}=\frac{AE}{AG};\frac{AC}{AN}=\frac{AF}{AG}\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{AE+AF}{AG}=\frac{2AE+IE+IF}{AG}\)

Dễ thấy \(\Delta\)BEI=\(\Delta\)CFI (g.c.g) => IE = IF (2 cạnh tương ứng) => IE + IF = 2.IE

\(\Rightarrow\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{2AE+2IE}{AG}=\frac{2AI}{AG}=\frac{3AG}{AG}=3\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}\right)^2=9\ge4.\frac{AB.AC}{AM.AN}\)(BĐT Cauchy)

\(\Leftrightarrow\frac{AB.AC}{AM.AN}\le\frac{9}{4}\Leftrightarrow AM.AN\ge\frac{4.AB.AC}{9}\)

\(\Rightarrow S_{AMN}\ge\frac{4}{9}.S_{ABC}\Leftrightarrow\frac{S_{ABC}}{S_{AMN}}\le\frac{9}{4}\)(đpcm).

Đẳng thức xảy ra <=> \(\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}\)<=> MN // BC <=> d // BC.

1

ai fan one piece điểm danh cái

a: Kẻ CH vuông góc với AM

\(S_{AGC}=\dfrac{CH\cdot AG}{2}\)

\(S_{GMC}=\dfrac{CH\cdot MG}{2}\)

mà AG=2MG

nên \(S_{AGC}=2S_{GMC}\)

b: Kẻ GK vuông góc với BC

\(S_{GMB}=\dfrac{BM\cdot GK}{2}\)

\(S_{GMC}=\dfrac{MC\cdot GK}{2}\)

mà BM=CM

nên \(S_{GMB}=S_{GMC}\)