Bài này có đúng là của lớp 7 không bạn?

\(x^4\left(y-z\right)+y^4\left(z-x\right)+z^4\left(x-y\right)\)

Ta có: \(x^4\ge0;y^4\ge0;z^4\ge0\)

\(x>y\Rightarrow x^4>y^4\)

\(y>z\Rightarrow y-z>0\) 

\(x>z\Rightarrow z-x< 0\) 

\(\Rightarrow y-z>z-x\)

 \(\Rightarrow x^4\left(y-z\right)+y^4\left(z-x\right)>0\)

\(x>y\Rightarrow x-y>0\)

Vậy: \(x^4\left(y-z\right)+y^4\left(z-x\right)+z^4\left(x-y\right)>0\)

BĐT bên trái rất đơn giản, chỉ cần áp dụng:

\(x^3+x^3+y^3\ge3x^2y\) ; tương tự và cộng lại và được

Ta chứng minh BĐT bên phải:

\(\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4+2\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=\left(x+y+z\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\)

\(\Leftrightarrow2\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{8}\left(x+y+z\right)^4\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\)

Thật vậy, ta có:

\(\dfrac{1}{8}\left(x+y+z\right)^4=\dfrac{1}{8}\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]^2\)

\(\ge\dfrac{1}{8}.4\left(x^2+y^2+z^2\right).2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)+xyz\left(x+y+z\right)\)

\(\ge x^3\left(y+z\right)+y^3\left(z+x\right)+z^3\left(x+y\right)\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;1\right)\) và hoán vị