Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\)

 Suy ra: a = kb

              c = kd

Do đó: \(\frac{a\cdot c}{b\cdot d}=\frac{kb\cdot kd}{b\cdot d}=\frac{k^2\cdot\left(b\cdot d\right)}{b\cdot d}=k^{2\left(1\right)}\)

            \(\frac{a^2-c^2}{b^2-d^2}=\frac{\left(kb\right)^2-\left(kd\right)^2}{b^2-d^2}=\frac{k^2b^2-k^2d^2}{b^2-d^2}=\frac{k^2\left(b^2-d^2\right)}{b^2-d^2}=k^2^{\left(2\right)}\)

Từ (1) và (2)  suy ra \(\frac{a\cdot c}{b\cdot d}=\frac{a^2-c^2}{b^2-d^2}\left(đpcm\right)\)

\(a^2+c^2=b^2+d^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=2\left(b^2+d^2\right)⋮2\)

Ta có

\(a^2+b^2+c^2+d^2+\left(a+b+c+d\right)=\)

\(=a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)+c\left(c+1\right)+d\left(d+1\right)\)

Ta thấy 

\(a\left(a+1\right);b\left(b+1\right);c\left(c+1\right);d\left(d+1\right)\) là tích của 2 số TN liên tiếp nên chúng chia hết cho 2

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+\left(a+b+c+d\right)⋮2\)

Mà \(a^2+b^2+c^2+d^2⋮2\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c+d⋮2\)

Mà a+b+c+d là các số TN khác 0 => a+b+c+d>2

=> a+b+c+d là hợp số

A = [(a +b) + (c + d)].[(a + b) + (c + d)]

A = (a + b).(a + b) + (a +b).(c + d) + (c + d).(a + b) + (c+d).(c+d)

A  = a² + ab + ab + b² + 2.(a+b).(c+d) + c² + cd + cd + d²

A = a² + b² + c² + d² + 2ab + 2.(a +b).(c + d) + 2cd

A = a² + b² + a² + b² + 2. [ab + (a + b).(c + d) + cd]

A = 2.(a² + b²) + 2.[ab + (a + b)(c + d) + cd]

⇒ A ⋮ 2  ⇒ a + b + c + d  ⋮ 2 mà a; b;c;d là số tự nhiên nên a + b + c + d > 2

Hay A ⋮ 1; 2; A vậy A là hợp số (đpcm)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\Rightarrow\left(\frac{a}{c}\right)^2=\left(\frac{b}{d}\right)^2=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)
                                         \(\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)
                                          \(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)