Chứng minh: 9x²-6x+2+y²>0, với mọi x và y

9x²-6x+2+y² = (3x)² - 2.3x+1+1+y² = (3x-1)² + y² + 1

ta thấy (3x-1)² luôn > hoặc = 0 và y² luôn > hoặc = 0 với mọi x và y

Suy ra (3x-1)² + y² + 1 > hoặc = 1 với  mọi x và y

hay (3x-1)² + y² + 1 > 0 với  mọi x và y

a) x²-6x+10

=(x^2-6x+9)+1

=(x-3)^2+1

vì (x-3)^2>=0 với mọi x nên (x-3)^2+1>0

Hay x^2-6x+10>0

Lời giải:

Ta thấy:

$9x^2-6x+2=(9x^2-6x+1)+1$

$=[(3x)^2-2.3x+1^2]+1=(3x-1)^2+1$

Vì $(3x-1)^2\geq 0$ với mọi $x$

$\Rightarrow 9x^2-6x+2=(3x-1)^2+1\geq 1>0$ với mọi $x$

Ta có đpcm.

\(\Leftrightarrow x^2-2.3.x+9+1=\left(x-3\right)^2+1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-3\right)^2\ge0\\1>0\end{cases}}\Rightarrow\left(x-3\right)^2+1>0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2.\frac{3}{2}.x+\frac{9}{4}+\frac{7}{4}=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\\\frac{7}{4}>0\end{cases}}\Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\)

\(\Leftrightarrow2.\left(x^2+xy+y^2+1\right)=x^2+2xy+y^2+x^2+y^2+2=\left(x+y\right)^2+x^2+y^2+2\)

ta có \(\left(x+y\right)^2\ge0,x^2\ge0,y^2\ge0,2>0\Rightarrow\left(x+y\right)^2+x^2+y^2+2>0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^2-2.1x+1+y^2+2.2.y+4+3\)\(=\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+3\)

Ta có \(=\left(x-y\right)^2\ge0,\left(x-1\right)^2\ge0,\left(y+2\right)^2\ge0,3>0\)\(\Rightarrow=\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+3>0\)

T i c k cho mình 1 cái nha mới bị trừ 50 đ

Ta có: \(6x^2\ge0;5y^2\ge0\) 

\(\Rightarrow6x^2+5y^2+2\ge2\)

Vậy \(6x^2+5y^2+2>0\)

\(Tacó\):   \(C=x^2+2xy+y^2+y^2-6y+15\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+\left(y^2-6y+9\right)+6\)

\(=\left(x+y\right)^2+\left(y-3\right)^2+6\)

\(Mà\)\(\left(x+y\right)^2\ge0\)với mọi x,y

             \(\left(y-3\right)^2\ge0\)với mọi y

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2+\left(y-3\right)^2+6>0\)

\(Hay\)\(x^2+2xy+y^2+y^2-6y+15>0\)\

: 

Ta có C = (x² + 2xy + y²) + (y² - 6x + 9) + 6 

= (x + y)² + (y - 3)² + 6 \(\ge6>0\)(đpcm)

C = x² + 2xy + y² + y² - 6y + 15 

C = ( x² + 2xy + y² ) + ( y² - 6y + 9 ) + 6

C = ( x + y )² + ( y - 3 )² + 6 ≥ 6 > 0 ∀ x ( đpcm )

D = x² + y² + 6x + 10y + 30

D = ( x² + 6x + 9 ) + ( y² + 10y + 25 ) - 4

D = ( x + 3 )² + ( y + 5 )² - 4 ≥ -4 ( xem lại đề nhớ )