góc ADI=90 độ-góc ABD

góc AID=góc BIH=90 độ-góc DBC

mà góc ABD=góc DBC

nên góc ADI=góc AID

=>AI=AD
Xét ΔBHA có BI là phân giác

nên IH/IA=BH/BA

Xet ΔBAC vuông tại A có AH vuông góc BC

nên BA^2=BH*BC

=>BH/BA=BA/BC=IH/IA

=>IH=BA/BC*IA=BA/BC*AD

=>IH/AD=BA/BC

=>IH/AD=AD/DC

=>AD^2=IH*DC

a: Xet ΔAHD vuông tại H và ΔAKD vuông tại K co

AD chung

góc HAD=góc KAD

=>ΔAHD=ΔAKD

b: góc BAD+góc CAD=90 độ

góc BDA+góc DAH=90 độ

góc CAD=góc DAH

=>góc BAD=góc BDA
=>ΔBAD cân tại B

Ta có : \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow HB=\dfrac{1}{4}HC\)

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

* Áp dụng hệ thức : 

\(AH^2=HB.HC=\left(\dfrac{1}{4}HC\right)HC\Rightarrow256=\dfrac{1}{4}HC^2\)

\(\Leftrightarrow HC^2=1024\Leftrightarrow HC=32\)cm 

\(\Rightarrow HB=\dfrac{1}{4}.32=8\)cm 

=> BC = HB + HC = 32 + 8 = 40 cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AB^2=BH.BC=8.40=320\Rightarrow AB=8\sqrt{5}\)cm 

* Áp dụng hệ thức : \(AC^2=CH.BC=32.40=1280\Rightarrow AC=16\sqrt{5}\)cm 

Chu vi tam giác ABC là : 

\(P_{ABC}=AB+AC+BC=24\sqrt{5} +40\)cm 

Ta có: \(\dfrac{HB}{HC}=\dfrac{1}{4}\)

nên \(HB=\dfrac{1}{4}HC\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(HB\cdot HC=AH^2\)

\(\Leftrightarrow HC\cdot\dfrac{1}{4}\cdot HC=14^2=196\)

\(\Leftrightarrow HC^2=196:\dfrac{1}{4}=196\cdot4=784\)

hay HC=28(cm)

\(\Leftrightarrow HB=\dfrac{1}{4}\cdot HC=\dfrac{1}{4}\cdot28=7\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔABC vuông tại A có AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB^2=7\cdot35=245\\AC^2=28\cdot35=980\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=7\sqrt{5}\left(cm\right)\\AC=14\sqrt{5}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=AB+AC+BC=7\sqrt{5}+14\sqrt{5}+35=35+21\sqrt{5}\left(cm\right)\)

xét ΔABH và ΔACH có:

\(\widehat{ACB}\)=\(\widehat{ABC}\)(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAH}\)=\(\widehat{CAH}\)(AH là tia phân giác của\(\widehat{BAC}\))

AB=AC(ΔABC cân tại A)

⇒ΔABH=ΔACH(g-c-g)

xét ΔABM và ΔCEM có:

\(\widehat{AMB}\)=\(\widehat{EMC}\)(2 góc đối đỉnh)

AM=MC(M là trung điểm của AC)

BM=ME(giả thuyết)

⇒ΔABM=ΔCEM(c-g-c)

⇒\(\widehat{BAM}\)=\(\widehat{MCE}\)(2 góc tương ứng)

⇒CE//AB(điều phải chứng minh)

⇒\(\widehat{BAH}\)=\(\widehat{CKH}\)(2 góc sole trong)₍₁₎

Mà \(\widehat{BAH}\)=\(\widehat{CAH}\)(AH là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))₍₂₎

Từ (1) và (2) ⇒\(\widehat{CAH}\)=\(\widehat{CKH}\)

⇒ΔACK cân tại C(điều phải chứng minh)

vì AH là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

Mà ΔABC cân tại A

⇒AH là đường trung tuyến

Mặc khác M là trung điểm của AC nên BM là đường trung tuyến

Mà G là giao điểm của BM và AH 

⇒G là trọng tâm của ΔABC

xét ΔABH và ΔKCH có:

BH=CH(AH là đường trung tuyến)

\(\widehat{ABH}\)=\(\widehat{KCH}\)(2 góc sole trong)

\(\widehat{AHB}\)=\(\widehat{KHC}\)=\(90^o\)

⇒ΔABH=ΔKCH(g-c-g)

Mà ΔABH=ΔACH

⇒ΔKCH=ΔACH

xét ΔAHC có:

AH+HC>AC(bất đẳng thức tam giác) 

Mà AH=3GH; AC=CK(ΔKCH=ΔACH)

⇒3GH+HC>CK(điều phải chứng minh)