Xét p = 3 thì không tìm được q nguyên.

Xét q = 3 thì không tìm được p nguyên.

Xét p, q khác 3.

TH 1: p,q chia cho 3 có cùng số dư thì p³ và q⁵ chia cho 3 cũng có cùng số dư.

\(\Rightarrow p^3-q^5\)chia hết cho 3 nhưng (p + q) lại không chia hết cho 3 nên loại.

TH 2: p,q chia cho 3 có số dư khác nhau 

\(\Rightarrow p^3-q^5\)không chia hết cho 3 nhưng (p + q) chia hết cho 3 nên loại.

Vậy không tồn tại p, q thỏa mãn bài toán.

Xét p = 3 thì không tìm được q nguyên.

Xét q = 3 thì không tìm được p nguyên.

Xét p, q khác 3.

TH 1: p,q chia cho 3 có cùng số dư thì p³ và q⁵ chia cho 3 cũng có cùng số dư.

$\Rightarrow p^3-q^5$⇒p3−q5chia hết cho 3 nhưng (p + q) lại không chia hết cho 3 nên loại.

TH 2: p,q chia cho 3 có số dư khác nhau 

$\Rightarrow p^3-q^5$⇒p3−q5không chia hết cho 3 nhưng (p + q) chia hết cho 3 nên loại.

Vậy không tồn tại p, q thỏa mãn bài toán.

cách khác:

Do p;q là cac số nguyên tố nên p;q>0

=>p>p+q

=>p³<(p+q)⁵

mà p³-q⁵=(p+q)⁵ nên q⁵ là 1 số âm

=>q là 1 số âm(trái đề bài)

=>không tìm được các số nguyên tố p;q

bài này chỉ cần điều kiện p;q là các số không âm là được

                   ai gúp mình với

Câu 5

Nếu p lẻ thì 3p lẻ nên 3p+7 chẵn,mà 3p+7 lầ số nguyên tố

Suy ra 3p+7=2(L)

Khí đó p chẵn,mà p là số nguyên tố nên p=2

Vậy p=2

Câu 3

Ta có:\(\overline{ab}-\overline{ba}=9\times\left(a-b\right)=3^2\times\left(a-b\right)\)

Mà ab-ba là số chính phương nên 3^2X(a-b) là số chính phương

Suy ra a-b là số chính phương

Mà 0<a-b<9 nên \(a-b\in\left\{1;4\right\}\)

Với a-b=1 mà 0<b<a nên ta có bảng sau:

Với a-b=4 mà a>b>0 nên ta có bảng sau:

Vậy ..............

Câu 2

Ta có:(2n-3;3n+15)=p

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n-3⋮p\Rightarrow3\left(2n-3\right)⋮p\Rightarrow6n-9⋮p\\3n+15⋮p\Rightarrow2\left(3n+15\right)⋮p\Rightarrow6n+30⋮p\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(6n+30\right)-\left(6n-9\right)⋮p\Rightarrow39⋮p\)

\(\Rightarrow p\in\left\{1;3;13;39\right\}\)

Mà p là số nguyên tố có 2 chứ số nên p=13

Vậy p=13

bổ đề: " Một số chính phương a^2 khi chia cho 5 chỉ có thể dư 0; 1 hoặc 4 " 

Chứng minh: Ta xét 5 trường hợp: 
+ a = 5k => a^2 = 25k^2, chia 5 dư 0 

+ a = 5k + 1 => a^2 = (5k + 1)^2 = 25k^2 + 10k + 1, chia 5 dư 1 

+ a = 5k + 2 => a^2 = (5k + 2)^2 = 25k^2 + 20k + 4, chia 5 dư 4 

+ a = 5k + 3 => a^2 = (5k + 3)^2 = 25k^2 + 30k + 9, chia 5 dư 4 

+ a = 5k + 4 => a^2 = 25k^2 + 40k + 16, chia 5 dư 1 

Vậy bổ đề được chứng minh 

Trở lại bài toán: Ta có (5^(2p)) + 2013 chia 5 dư 2 

(5^(2p^2)) + q^2 chia 5 dư q^2, áp dụng bổ đề ta được q^2 chia 5 chỉ có thể dư 0, 1 hoặc 4 chứ không thể dư 2 => 2 số (5^(2p))+2013 và (5^(2p^2))+q^2 khi chia cho 5 không bao giờ có cùng số dư, vậy nên chúng không thể bằng nhau 

=> không tồn tại 2 số nguyên tố p và q thỏa mãn yêu cầu bài toán 

p/s: theo lời giải trên ta thấy có thể mở rộng bào toán cho trường hợp p và q là "các số nguyên" chứ không cần là số nguyên tố

Câu hỏi của FFPUBGAOVCFLOL - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Bạn tham khảo nhé