△BMN=△CMN (c.g.c) ⇒ Góc MBN = MCN

△BDC=△CEB (g.c.g) ⇒ DC = EB và BD = CE

Có DC = BE mà AB = AC ⇒ AD = AE 

Dùng định lí tổng 3 góc trong 1 tam giác tính đc Góc AED = ABC = 180- A ⇒ DE // BC

Xét tgiac BEDC có DE// BC

⇒TGIAC  là hình thang, mà CE = BD

⇒đpcm

ta có: tam giác ABC cân tại A

          mà AM là đường trung tuyến( M là trung điểm BC)

suy ra AM là đường trung trực của tam giác ABC

mà N thuộc AM(gt)

suy ra MN là đường trung trực của tam giác ABC

xét tam giác BNC có:BN=CN(MN là đg trung trực của tam giác ABC)

suy ra tam giác NBC cân tại N

suy ra NBC=NCB

mà ABD+NBC=ABC

      ACE+NCB=ACB

mà ABC=ACB(tam giác ABC cân tại A)

suy ra ACE=ABD

xét tam giác ABD và tam giác ACE có:

ACE=ABD(cmt)

AB=AC(tam giác ABC cân tại A)

góc A chung 

từ đó suy ra hai tam giác=nhau

suy ra AE=AD(c.c.t.ứ)

xét tam giác AED co:

AE=AD(cmt)

suy ra Tam giác AED cân tại A

suy ra AED=ADE=(180 độ-A):2

mà ABC=ACB=(180-BAC):2

từ 2 điều đó suy ra AED=ADE=ABC=ACB

mà các góc này ở vị trí đồng vị 

suy ra ED song song BC

xét tứ giác EDCB có

ED song song BC(cmt)

suy ra tứ giác EDCB là hình thang

mà góc EBD=góc DCB

suy ra hình thang EDCB là hình thang cân

-

-

-

cho tam giác abc cân tại a. m, n, h lan luot la trung diem cua ab, ac, bc. ah cat mn lai o. 

a, cm bmnc la hinh thang can.

b, chung minh amnh la hinh thoi

 c, k la diem doi xung cua h qua n. cm b, o, k thang hang

d, BK cat ac tai d. CM ab=3ad

a: Xét ΔABC có 

MN//BC

nên \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\)

mà AB=AC

nên AM=AN

Xét ΔAMN có AM=AN

nên ΔAMN cân tại A

a) Ta có: MN//BC(gt)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\\\widehat{ANM}=\widehat{ACB}\end{matrix}\right.\)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(tam giác ABC cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{ANM}\)

=> Tam giác AMN cân tại A

b) Xét tứ giác BMNC có:

MN//BC

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(Tam giác ABC cân tại A)

=> BMNC là hthang cân

c) Ta có: BMNC là hthang cân

=> BN=MC

a) Ta có: AM+MB=AB(M nằm giữa hai điểm A và B)

AN+NC=AC(N nằm giữa A và C)

mà MB=NC(gt)

và AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên AM=AN

Xét ΔAMN có AM=AN(cmt)

nên ΔAMN cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

Ta có: ΔAMN cân tại A(cmt)

nên \(\widehat{AMN}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔAMN cân tại A)(1)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

nên \(\widehat{ABC}=\dfrac{180^0-\widehat{A}}{2}\)(Số đo của một góc ở đáy trong ΔABC cân tại A)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)

b) Ta có: \(\widehat{AMN}=\widehat{ABC}\)(cmt)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên MN//BC(Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Xét tứ giác MNBC có MN//BC(cmt)

nên MNBC là hình thang có hai đáy là MN và BC(Định nghĩa hình thang)

Hình thang MNBC(MN//BC) có \(\widehat{MBC}=\widehat{NCB}\)(ΔABC cân tại A)

nên MNBC là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

c) Xét ΔAMN có 

E là trung điểm của AM(gt)

F là trung điểm của AN(gt)

Do đó: EF là đường trung bình của ΔAMN(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)

Suy ra: EF//MN và \(EF=\dfrac{MN}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

mà MN//BC(cmt)

nên EF//BC(3)

Xét hình thang MNCB(MN//CB) có 

H là trung điểm của MB(gt)

G là trung điểm của NC(gt)

Do đó: HG là đường trung bình của hình thang MNCB(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)

Suy ra: HG//MN//BC và \(HG=\dfrac{MN+BC}{2}\)(Định lí 4 về đường trung bình của hình thang)(4)

Từ (3) và (4) suy ra EF//HG

Ta có: HG//BC(cmt)

nên \(\widehat{EHG}=\widehat{ABC}\) và \(\widehat{FGH}=\widehat{ACB}\)(Các cặp góc đồng vị)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC cân tại A)

nên \(\widehat{EHG}=\widehat{FGH}\)

Xét tứ giác EFGH có EF//HG(cmt)

nên EFGH là hình thang có hai đáy là EF và HG(Định nghĩa hình thang)

Hình thang EFGH(EF//HG) có \(\widehat{EHG}=\widehat{FGH}\)(cmt)

nên EFGH là hình thang cân(Dấu hiệu nhận biết hình thang cân)