Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại C với đường tròn cắt AB,AD lần lượt tại E và F.
a. Chứng minh AB.AE=AD.AF
b. Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh AM⊥⊥BD
c. Đường tròn đường kính EF cắt (O) tại K, AK cắt EF tại S. Chứng minh 3 điểm B,D,S thẳng hàng.
a,Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác:
+) Tam giácACE , có :
\(AC^2=AB.AE\left(1\right)\)
+) Tam giác ACF , có :
\(AC^2=AD.\text{AF}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) =>AB.AE=AD=AF (đpcm)
Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O).Tiếp tuyến tại C với đường tròn Cắt AB,AD lần lượt tại E,F.
a)Cm:AB.AE=AD.AF
b)Gọi M là trung điểm của EF.Cm:AM=BD
c)Đường tròn đường kính EF cắt (O) tại K,Ak cắt EF tại S.Cm:B,D,S thẳng hàng
mình không vẽ hình nhé
a) \(\Delta ABD~\Delta AFE\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AB}{AF}=\frac{AD}{AE}\Rightarrow AB.AE=AD.AF\)
b) AM cắt BD tại H
Xét \(\Delta AEF\)có M là trung điểm EF
\(\Rightarrow AM=MF=ME\)
\(\Rightarrow\Delta AMF\)cân tại M
\(\Rightarrow\widehat{MAF}=\widehat{MFA}=\widehat{ABD}\)
Mà \(\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=90^o\Rightarrow\widehat{MAF}+\widehat{ADB}=90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AHD}=90^o\Rightarrow AM\perp BD\)
c) vì AK là dây chung của hai đường tròn ( O ) và ( M ) nên \(OM\perp AK\)
Xét \(\Delta AMS\)có MO và AO là đường cao nên O là trực tâm
\(\Rightarrow SO\perp AM\)( 1 )
Mà \(BD\perp AM\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) nên B,D,S thẳng hàng
Bài 1: Cho hcn ABCD nội tiếp (O) . Tiếp tuyến tại C với đường tròn cắt AB,AD lần lượt tại E,F
a, Chứng minh: AB.AE=AD.AF
b, Gọi M là trung điểm của EF . Chứng minh AM vuông góc với BD
c, Đường tròn đường kính EF cắt (O) tại K , AK cắt EF tại S . Chứng minh :B,D,S thẳng hàng
Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) nội tiếp (O;R) . Các đg cao BD,CE của tam giác cắt nhau tại H
a, CM: tứ giác BEDC nội tiếp đg tròn
b, CM: AE.AB=AD.AC và OA vuông góc với DE
c, Đg tròn đg kính AH cắt (O) tại F. CM: DE,AF,BC đồng quy tại một điểm
Cho một hcn ABCD nội tiếp đtròn (O) .tiếp tuyến tại C vs đtròn cat AB,AD lần lượt tại E,F.
a, Cm :AB.AE=AD.AF
b, gọi M là trung điểm của EF .Cm AM vuông vs BD
c, Đường tròn đkính EF cat (O) tại K , AK cat EF tại S .Cm 3 điểm B,D,S thang hàng
a) xét (o) ta có : OA = OD = R
\(\Rightarrow\) \(\Delta\) OAD cân tại O \(\Rightarrow\) OAD = ODA
xét \(\Delta\) ABD ta có : ABO + ADO = 90 (\(\Delta\) ABD vuông tai A)
xét \(\Delta\) ACF ta có : CFA + CAD = 90 (\(\Delta\) ACF vuông tại C )
mà CAD = OAD đồng thời ADO = OAD (chứng minh trên)
\(\Rightarrow\) ABO = CFA
xét \(\Delta\) ABD và \(\Delta\) AFE
ta có : A chung
ABO = CFA (chứng minh trên)
\(\Rightarrow\) \(\Delta\) ABD đồng dạng \(\Delta\) AFE
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AB}{AF}\) = \(\dfrac{AD}{AE}\) \(\Leftrightarrow\) AB . AE = AD . AF (ĐPCM)
đặc AM cắt BD tại H
b) xét \(\Delta\)vuông AEF ta có M là trung điểm EF
\(\Rightarrow\) AM = \(\dfrac{1}{2}\) EF \(\Leftrightarrow\) AM = EM = FM
\(\Rightarrow\) \(\Delta\) AMF cân tại M \(\Rightarrow\) MAF = MFA
mà MFA = ABD (\(\Delta\) AEF đồng dạng \(\Delta\) ABD)
\(\Rightarrow\) ABD = MAF
mà ABD + ADB = 90 (\(\Delta\) ABD vuông tại A)
\(\Rightarrow\) ADB + MAF = 90
\(\Rightarrow\) AHD = 180 - (ADB + MAF) = 180 - 90 = 90
\(\Leftrightarrow\) AM vuông góc BD (ĐPCM)
Bài 4: Cho hình chưc nhật ABCD nội tiếp (O). tiếp tuyến tại C với đường tròn cắt AB, AD kéo dài lần lượt tại E và F
a) CMR: AB.AE = AD.AF (bằng 2 pp)
b) Gọi M là trung điểm của EF. C/m: AM
BD
c) Tiếp tuyến tại B và D với (O) cắt E, F lần lượt tại I và J. C/m: IJ = 
EF
d) Cho CE = 6 cm; CF = 2 cm. Tính SBDJI; SBDFE
cho đường tròn (o) đường kính AB và đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ B. trên d lấy hai điểm nằm khác phía với điểm B và BC<BD.AC cắt (o) tại E, AD cắt (o) tại F.(E,F khác A) đường thẳng kẻ qua A vuông góc với EF cắt CD tại M.
a) chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp.
b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. chứng minh IM vuông góc với CD.
c) gọi P là giao điểm của FE và CD. PA cắt đường tròn (o) tại K (K khác A) c/m K,B,I thẳng hàng
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho điểm O nằm trong tứ giác ABCD và AB<CD. AC cắt BD tại E.
a) Chứng minh EA.EC=EB.ED
b) Gọi K trung điểm BC. Đường thẳng qua E và vuông góc OE cắt AD và BC lần lượt tại M,N. Chứng minh tứ giác ENKO nội tiếp
c) Chứng minh E trung điểm MN
d) Qua D kẻ đường vuông góc với AD. Đường thẳng này cắt đường thẳng vuông góc BC tại C ở F. Chứng minh E,O,F thẳng hàng
B1: Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 6cm, AC = 8cm. Vẽ đường cao AH, đường tròn tâm O đường kính AH cắt AB tại E và cắt AC tại điểm F.
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp
c) Gọi I là trung điểm của B
C.Chứng minh AI vuông góc với EF
d) Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEF
C.Tính diện tích hình tròn tâm K.
B2: Cho ABC nhọn, đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D, CE cắt BD tại H
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp
b) AH cắt BC tại F. chứng minh FA là tia phân giác của góc DFE
c) EF cắt đường tròn tại K ( K khác E). chứng minh DK// AF
d) Cho biết góc BCD = 450 , BC = 4 cm. Tính diện tích tam giác ABC
B 3: cho đường tròn ( O) và điểm A ở ngoài (O)sao cho OA = 3R. vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B và C là hai tiếp tuyến )
a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AC cắt ( O) tại D ( khác B). đường thẳng AD cắt ( O) tại E. chứng minh AB2= AE. AD
c) Chứng minh tia đối của tia EC là tia phân giác của góc BEA
d) Tính diện tích tam giác BDC theo R
B4: Cho tam giác ABC nhọn, AB >AC, nội tiếp (O,R), hai đường cao AH, CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp? Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
b) Tia BH cắt AC tại E. chứng minh HE.HB= HF.HC
c) Vẽ đường kính AK của (O). chứng minh AK vuông góc với EF
d) Trường hợp góc KBC= 450, BC = R. tính diện tích tam giác AHK theo R
B5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Ba đương cao AE, BF, CK cắt nhau tại H. Tia AE, BF cắt đường tròn tâm O lần lượt tại I và J.
a) Chứng minh tứ giác AKHF nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh hai cung CI và CJ bằng nhau.
c) Chứng minh hai tam giác AFK và ABC đồng dạng với nhau
B6: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn ( O; R ),các đường cao BE, CF .
a)Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.
b)Chứng minh OA vuông góc với EF.
B1, a, Xét tứ giác AEHF có: góc AFH = 90o ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
góc AEH = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
Góc CAB = 90o ( tam giác ABC vuông tại A)
=> tứ giác AEHF là hcn(đpcm)
b, do AEHF là hcn => cũng là tứ giác nội tiếp => góc AEF = góc AHF ( hia góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
mà góc AHF = góc ACB ( cùng phụ với góc FHC)
=> góc AEF = góc ACB => theo góc ngoài tứ giác thì tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp (đpcm)
c,gọi M là giao điểm của AI và EF
ta có:góc AEF = góc ACB (c.m.t) (1)
do tam giác ABC vuông tại A và có I là trung điểm của cạng huyền CB => CBI=IB=IA
hay tam giác IAB cân tại I => góc MAE = góc ABC (2)
mà góc ACB + góc ABC + góc BAC = 180o (tổng 3 góc trong một tam giác)
=> ACB + góc ABC = 90o (3)
từ (1) (2) và (3) => góc AEF + góc MAE = 90o
=> góc AME = 90o (theo tổng 3 góc trong một tam giác)
hay AI uông góc với EF (đpcm)
HỎI TỪNG CÂU THÔI !
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O (AB>CD). GỌi giao điểm của AC và BD là I. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI cắt AB và CD lần lượt tại E và F, EF cắt AC và BD tại M, N.
a, Chứng minh IE = IF
b, Chứng minh EF//BC và tứ giác AMND nội tiếp
c, Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI.
Chứng minh rằng KI vuông góc với BC
(Mình cần làm giúp phần (c) thôi ạ, cảm ơn)
