\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)    \(\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b}+1\ge\frac{9}{2}\) 

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\ge\frac{9}{2}\) 

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\) 

thật vậy\(2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\) =\(\left[\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)\right]\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\) (ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC COSI) 

ĐẲNG THỨC CUỐI ĐÚNG SUY RA ĐẲNG THỨC ĐẦU ĐƯỢC CHỨNG MINH

ta có \(\frac{a^3}{b}+ab\ge2a^2\)

do đó VT +(ab + bc + ca) \(\ge2a^2+2b^2+2c^2\)

hay VT \(\ge2a^2+2b^2+2c^2-\left(ab+bc+ca\right)\ge a^2+b^2+c^2\) (đpcm).

Câu hỏi của Trần Thị Thùy Linh 2004 - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

EM tham khảo nhé!

Thank you chụy

Tham khảo bài cô làm nhé! Bài của bạn làm một số chỗ chưa đúng!

Chứng minh phải k bạn 

\(\frac{a^3+b^3}{a^3+c^3}=\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)}\)

Thay a=b+c ta có : \(\frac{\left(b+c+b\right)\left[\left(b+c\right)^2-ab+b^2\right]}{\left(b+c+c\right)\left[\left(b+c\right)^2-ab+b^2\right]}\)

\(\frac{\left(2b+c\right)\left(b^2+2bc+c^2-ab+b^2\right)}{\left(b+2c\right)\left(b^2+2bc+c^2-ab+b^2\right)}\)

Đặt b+c=a lại : \(\frac{2b+c}{b+2c}=\frac{a+b}{b+c}\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(2b^2+2bc+c^2-ab\right)}{\left(b+c\right)\left(2b^2+2bc+c^2-ab\right)}\)

\(=\frac{a+b}{b+c}\)

=> đpcm

Bạn ơi \(\frac{a+b}{a+c}mà\)chứ đâu phải \(\frac{a+b}{b+c}\)

Sửa lại khúc cuối chuyển sai ==

Đặt lại b+c=a ta có : \(\frac{ab+c}{b+2c}=\frac{a+b}{a+c}\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(2b^2+2bc+c^2-ab\right)}{\left(a-c\right)\left(2b^2+2bc+c^2-ab\right)}\)

\(=\frac{a+b}{a-c}\) => đpcm

Bài này làm cũng dài lắm. Mai mình làm cho

a) =a²b - ab² + b²c - bc² + a²c - ac²

= abc +a²b - ab² +b²c - bc² +a²c - ac² - abc

= (a²b - abc) - (ab² - b²c) - (bc² - ac²) - (a²c - abc)

= ab(a - c) - b²(a - c) - c²(b - a) - ac(a - b)

= [ab(a - c) - b²(a - c)] + [c²(a - b) - ac(a - b)]

= (a - c)(ab - b²) + (a - b)(c² - ac)

= b(a - c)(a - b) + c(a - b)(c - a)

= b(a - c)(a - b) - c(a - b)(a - c)

= (a - c)(a - b)(b - c)

b)= ab² - ac² + bc² - a²b + a²c - b²c

= abc + ab² - ac² + bc² - a²b + a²c - b²c - abc

= (ab² - abc) + (abc - ac²) - (b²c - bc²) - (a²b - a²c)

= ab(b - c) + ac( b - c) - bc(b - c) - a²(b - c)

= (b - c)(ab + ac - bc - a²)

= (b - c) [(ab - bc) + (ac - a²)]

= (b - c) [b(a - c) +a(c - a)]

= (b - c) [b(a - c) - a(a - c)]

= (b - c)(a - c)(b - a)

c) = ab³ - ac³ + bc³ - a³b + a³c - b³c

= a²bc + ab²c + abc² + a³b + a²b² + a²bc - a³c - a²bc - a²c² + a²c² + abc² + ac³ - a²b²

- ab³ - ab²c + ab²c + b³c + b²c² - abc² - b²c² - bc³ - a²bc - ab²c - abc²

= (a²bc + ab²c + abc²) +(a³b + a²b² + a²bc) - (a³c - a²bc - a²c²) +(a²c² + abc² +ac³) -

(a²b² + ab³ + ab²c) + (ab²c + b³c + b²c²) - (abc² + b²c² + bc³) - (a²bc + ab²c + abc²)

= abc(a + b + c) +a²b(a + b + c) - a²c(a + b + c) + ac²(a + b + c) - ab²(a + b + c) + b²c(a + b + c) - bc²(a + b + c) - abc(a + b+ c)

= (a +b +c)(abc + a²b - a²c + ac² - ab² + b²c - bc² - abc)

= (a + b+ c) [(a²b - abc)+(abc - bc²) - (a²c - ac²) - (ab² - b²c)]

= (a + b + c) [ab(a - c) + bc(a - c) - ac(a - c) - b²(a - c)]

= (a + b + c)(a - c)(ab + bc - ac - b²)

= (a +b + c)(a - c) [(ab - ac) - (b² - bc)]

= (a + b+ c)(a - c) [a(b - c) - b(b - c)]

= (a + b + c)(a - c)(b - c)(a - b)