Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (1+2x, 1+2y) và (1,1) ta có:

\(P^2\le\left[\left(\sqrt{1+2x}\right)^2+\left(\sqrt{1+2y}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)=2\left(2x+2y+1\right)\le2\left(x^2+1+y^2+1+1\right)=2.4=8\)

\(\Rightarrow P\le\sqrt{8}\)

Vậy GTLN của P là \(\sqrt{8}\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{1+2x}=\sqrt{1+2y}\\x,y>0\\x^2+y^2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

\(\sqrt{1+\sqrt{2}}.P=\sqrt{1+2x}.\sqrt{1+\sqrt{2}}+\sqrt{1+2y}.\sqrt{1+\sqrt{2}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\sqrt{1+\sqrt{2}}.P\le\frac{1+2x+1+\sqrt{2}+1+2y+1+\sqrt{2}}{2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}\ge x+y\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{1+\sqrt{2}}P\le\frac{1+2x+1+\sqrt{2}+1+2y+1+\sqrt{2}}{2}\le\frac{4+2.\sqrt{2}+2.\sqrt{2}}{2}=2+2\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow P\le\frac{2+2.\sqrt{2}}{\sqrt{1+\sqrt{2}}}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Mới nghĩ ra được max. Các cao nhân ai thấy sai thì sửa hộ e nhé.

áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki 

\(P^2=\left(1.\sqrt{1+2x}+1.\sqrt{1+2y}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(1+2x+1+2y\right)\)

    \(=4\left(1+x+y\right)\)

Lại có \(\left(x.1+y.1\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1^2+1^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)=2.\)

\(\Rightarrow|x+y|\le\sqrt{2}.\Rightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\Leftrightarrow-\sqrt{2}+1\le1+x+y\le\sqrt{2}+1\)

\(\Rightarrow P^2\le4\left(1+x+y\right)\le4.\left(\sqrt{2}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2\sqrt{\sqrt{2}+1}\le P\le2\sqrt{\sqrt{2}+1}\)

Vậy Max \(P=2\sqrt{\sqrt{2}+1}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}.\)

sorry nhìu , nếu có đk x, y>=0 thì mk mới tìm được minP=3 

nếu k phải thì mong cao nhân chỉ cho ak

Nếu sửa đề thì tìm min dễ hơn x,y>=0

\(P^2=2+2\left(x+y\right)+2\sqrt{\left(1+2x\right)\left(1+2y\right)}.\)

\(=2+2\left(x+y\right)+2\sqrt{1+2\left(x+y\right)+4xy}.\)

TỪ \(x,y\ge0,x^2+y^2=1\Rightarrow0\le x^2,y^2\le1\Leftrightarrow0\le x,y\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge x^2\\y\ge y^2\end{cases}\Rightarrow x+y\ge x^2+y^2}\)

\(\Rightarrow P^2\ge2+2\left(x^2+y^2\right)+2\sqrt{1+2\left(x^2+y^2\right)}=4+2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}+1\)

Dấu = xảy ra x=0 y=1 hoặc ngược lại

tích mình với

ai tích mình

mình tích lại

thanks

Tích mình đi mình tích lại

ĐKXĐ: \(x\ge1;y\ge25\)

\(D=\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{\left(x-2\right)^2+25}}+\frac{1}{y}\sqrt{\frac{y-25}{\left(y-50\right)^2+1}}\)

Vì x>=1,y>=25 => x-1>=0,y-25>=0 

=> D >= 0

Dấu "=" xảy ra <=> x=1,y=25

Vậy MinD=0 khi x=1,y=25

Ta có: \(\left(x-2\right)^2+25\ge25;\left(y-50\right)^2+1\ge1\)

=>\(\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{\left(x-2\right)^2+25}}\le\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{25}};\frac{1}{y}\sqrt{\frac{y-25}{\left(y-50\right)^2+1}}\le\frac{1}{y}\sqrt{y-25}\)

=>\(D\le\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{25}}+\frac{1}{y}\sqrt{y-25}\)

Vì x>=1 => x-1>=0. Áp dụng bđt cosi với 2 số dương x-1 và 1 ta có:

\(\sqrt{x-1}=\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\)

=>\(\frac{1}{x}\sqrt{\frac{x-1}{25}}\le\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{25}}=\frac{1}{10}\)

Vì y>=25 => y-25>=0. ÁP dụng bđt cô si cho 2 số dương 25 và y-25 ta có:

\(\sqrt{y-25}=\frac{\sqrt{25\left(y-25\right)}}{5}\le\frac{25+y-25}{2.5}=\frac{y}{10}\)

=>\(\frac{1}{y}\sqrt{y-25}=\frac{1}{y}\cdot\frac{y}{10}=\frac{1}{10}\)

Suy ra \(D\le\frac{1}{10}+\frac{1}{10}=\frac{1}{5}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=2,y=50

Vậy MaxD = 1/5 khi x=2,y=50

đúng đó trình bày lại đi xấu thật nhưng mik trình bày xấu hơn

bạn có thể dùng bđt phụ này để chứng minh 

\(\sqrt{a+b+c}\le\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\le\sqrt{3\left(a+b+c\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

1.ap dung bdt bunhiacopski

2.Ap dung Bdt can a + can b >= can (a+b) de tim min

Bunhiacopski de tim max

ở xã hội này chỉ có làm mới có ăn những loại không làm mà đòi ăn thì ăn đầu bòi ăn cut nháa