a. Từ N kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt OM tại I. Vậy (I; IN) chính là tâm đường tròn cần tìm. 

Ta chỉ cần chứng minh M thuộc (I). Thật vậy, IN // KO (Cùng vuông góc AB) nên \(\widehat{OKM}=\widehat{INM}\) mà \(\widehat{OKM}=\widehat{OMK}\)

Vậy nên \(\widehat{IMN}=\widehat{INM}\Rightarrow IN=IM\). Vậy M thuộc đường tròn (I).

b. Kẻ tiếp tuyến Mx của hai đường tròn. Khi đó \(\widehat{FEM}=\widehat{FMx}=\widehat{BMx}=\widehat{BAM}\)

Chúng lại ở vị trí so le trong nên EF // AB.

c. Ta thấy ngay \(\Delta OKN\sim\Delta KMJ\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{KN}{MJ}=\frac{OK}{KM}\Rightarrow KM.KN=MJ.OK=2R^2.\)

d. Coi AK = 1, đặt \(\frac{NB}{AB}=t\Rightarrow\frac{AN}{AB}=1-t;NP=t;NQ=1-t;PQ=\sqrt{t^2+\left(1-t\right)^2}\)

Ta tìm min \(1+\sqrt{2t^2-2t+1}=1+\sqrt{2\left(t-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}}\ge1+\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(t=\frac{1}{2}\) hay N trùng O.

tks bạn nha !

mà tại sao NP = t và NQ = 1-t vậy?

a, Vẽ tiếp tuyến tại C cắt đường AB ở P. Phân giác C P B ^  cắt OC ở I. Vẽ đường tròn tâm I bán kính IC, đó là đường tròn cần tìm

b, Do  A C B ^ = 90 0 nên M C N ^ = 90 0

=> MN là đường kính của (I) => ĐPCM

c, Chứng minh được MN//AB nên ID ^ MN => M D ⏜ = N D ⏜ hay CD là tia phân giác  A C B ^ => Đpcm

a) Tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại C.CM cắt (I) tại N'

Xét \(\Delta CAM\) và \(\Delta CN'A:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ACN'chung\\\angle CAM=\angle CN'A\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CAM\sim\Delta CN'A\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{CA}{CN'}=\dfrac{CM}{CA}\Rightarrow CA^2=CM.CN'\)

mà \(CA^2=CB^2\Rightarrow CB^2=CM.CN'\Rightarrow\dfrac{CB}{CM}=\dfrac{CN'}{CB}\)

Xét \(\Delta CBM\) và \(\Delta CN'B:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BCN'chung\\\dfrac{CB}{CM}=\dfrac{CN'}{CB}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta CBM\sim\Delta CN'B\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle CBB=\angle CN'B\Rightarrow N'\in\left(J\right)\)

\(\Rightarrow N\equiv N'\Rightarrow MN\) luôn đi qua điểm C mà A,B cố định

\(\Rightarrow C\) cố định \(\Rightarrow\) đpcm

b) mình chỉ chứng minh được N thuộc 1 đường tròn cố định thôi,còn chạy trên đoạn thẳng hình như là ko được

Ta có: \(\angle ANB=\angle ANM+\angle BNM=\dfrac{1}{2}\angle AIM+\dfrac{1}{2}\angle BJM\)

Xét \(\Delta AIM\) và \(\Delta AOB:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle OABchung\\\dfrac{IA}{OA}=\dfrac{IM}{OB}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta AIM\sim\Delta AOB\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle AIM=\angle AOB\)

Tương tự \(\Rightarrow\angle BJM=\angle AOB\)

\(\Rightarrow\angle ANB=\dfrac{1}{2}\angle AOB+\dfrac{1}{2}\angle AOB=\angle AOB\)

\(\Rightarrow N\in\left(AOB\right)\) mà A,O,B cố định \(\Rightarrow N\in\left(AOB\right)\) cố định

Xét (O'): \(O'A\perp AB\) tại A và O'A là bán kính.

\(\Rightarrow\)AB là tiếp tuyến của (O') tại A.

\(\Rightarrow\widehat{NAB}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung chắn cung AN.

Mặt khác \(\widehat{AMN}\) là góc nội tiếp chắn cung AN.

\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{NAB}\left(1\right)\)

Xét (O): \(\widehat{AMC}=\widehat{ABC}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AC}\right)\left(2\right)\)

\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\widehat{NAB}=\widehat{ABC}\) nên AN//BC.