Vì CD = 2AB (gt) nên AB = 1/2 CD

Vì E là trung điểm của CD nên DE = EC = 1/2 CD

Suy ra: AB = DE = EC

Hình thang ABCD có đáy AB = EC nên hai cạnh bên AE và BC song song với nhau

Xét △ AEB và  △ CBE, ta có:

∠ (ABE) =  ∠ ( BEC)(So le trong)

∠ (AEB) =  ∠ (EBC) (so le trong)

BE cạnh chung

⇒ △ AEB = △ CBE (g.c.g) (1)

Hình thang ABCE có đáy AB = DE nên hai cạnh bên AD và BE song song với nhau

Xét  △ AEB và  △ EAD, ta có:

∠ (BAE) =  ∠ (AED)(so le trong)

∠  (AEB) =  ∠ (EAD) (so le trong)

AE cạnh chung

⇒ △  AEB = △ EAD(g.c.g) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ΔAEB = ΔCBE = ΔEAD

Vậy ba tam giác  △ AEB;  △ CBE và  △ EAD đôi một đồng dạng

Học sinh sử dụng tính chất các tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau để chứng minh

Vì ABCD là hình bình hành nên:

AB = CD (1)

Theo giả thiết:

AE = EB = 1/2 AB (2)

DF = FC = 1/2 CD (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

EB = DF và BE // DF.

Suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Suy ra: DE // BF

Ta có:  ∠ (AED) = ∠ (ABF ) (đồng vị)

∠ (ABF) =  ∠ (BFC) (so le trong)

Suy ra:  ∠ (AED) =  ∠ ( BFC)

Xét  △ AED'và  △ CFB ta có:

∠ (AED) = ∠ ( BFC) (chứng minh trên)

∠ A =  ∠ C (tính chất hình bình hành)

Vậy: △ AED đồng dạng  △ CFB (g.g)

Xét ΔADE và ΔABC co
AD/AB=AE/AC
góc A chung

=>ΔADE đồng dạng với ΔABC

Xét ΔABE và ΔACD có

AB/AC=AE/AD
góc A chung

=>ΔABE đồng dạng với ΔACD

I là trung điểm của DC (gt).

\(\Rightarrow DC=2DI=2IC.\)

Mà \(DC=2AB\left(gt\right).\)

\(\Rightarrow AB=DI=IC.\)

Xét tứ giác ABDI:

\(AB//DI\left(AB//DC\right).\\ AB=DI\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác ABDI là hình bình hành (dhnb).

\(\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{ADI}\) (Tính chất hình bình hành).

Xét tứ giác ABCI:

\(AB//IC\left(AB//DC\right).\\ AB=IC\left(cmt\right).\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác ABCI là hình bình hành (dhnb).

\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{BCI}\) (Tính chất hình bình hành).

Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta IDA:\)

\(\widehat{ABI}=\widehat{IDA}\left(cmt\right).\\ \widehat{IAB}=\widehat{AID}\left(AB//DC\right).\\ \Rightarrow\Delta ABI\sim\Delta IDA\left(g-g\right).\left(1\right)\)

Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta CIB:\)

\(\widehat{BAI}=\widehat{ICB}\left(cmt\right).\\ \widehat{ABI}=\widehat{CIB}\left(AB//DC\right).\\ \Rightarrow\Delta ABI\sim\Delta CIB\left(g-g\right).\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right).\Rightarrow\) \(\Delta IDA\) \(\sim\Delta CIB.\)

Vậy các cặp tam giác đồng dạng có trong hình là:

\(\Delta ABI\sim\Delta IDA;\) \(\Delta ABI\sim\Delta CIB;\) \(\Delta IDA\) \(\sim\Delta CIB.\)