Lời giải:
a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{3,6.6,4}=4,8$ (cm)

Áp dụng định lý Pitago:

$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{4,8^2+3,6^2}=6$ (cm)

$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{4,8^2+6,4^2}=8$ (cm)

$\tan \widehat{HAC}=\frac{CH}{AH}=\frac{6,4}{4,8}\Rightarrow \widehat{HAC}=53,1^0$

b. $Bx\parallel AC\Rightarrow Bx\perp AB$ hay tam giác $ABK$ vuông tại $A$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông với $ABK, ABC$ thì:

$AH.AK=AB^2$

$BH.BC=AB^2$

$\Rightarrow AH.AK=BH.BC$ (đpcm)

c. 

Tứ giác $KHEC$ có $\widehat{KHC}=\widehat{KEC}=90^0$ nên $KHEC$ là tgnt

$\Rightarrow \triangle AHE\sim \triangle ACK$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{HE}{CK}=\frac{AH}{AC}=\frac{4,8}{8}=\frac{3}{5}$ (đpcm)

d.

Gọi $AB=c, AC=b$ 

$\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{b^2+c^2}{b^2c^2}$
$S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{bc}{a+b+c}=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}+b+c}$

$\Rightarrow r^2=\frac{b^2c^2}{(\sqrt{b^2+c^2}+b+c)^2}$

Vậy:

\(\frac{r^2}{AH^2}=\frac{b^2+c^2}{(\sqrt{b^2+c^2}+b+c)^2}\)

Theo BĐT AM-GM: $(b+c)^2\leq 2(b^2+c^2)$

$\Rightarrow b+c\leq \sqrt{2(b^2+c^2)}$

\(\Rightarrow \frac{r^2}{AH^2}\geq \frac{b^2+c^2}{(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{2(b^2+c^2)})^2}=\frac{1}{(1+\sqrt{2})^2}> \frac{1}{9}\)

$\Rightarrow \frac{r}{AH}>\frac{1}{3}$

Hình vẽ:

a: ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

\(\Leftrightarrow AH=\sqrt{3.6\cdot6.4}=4.8\left(cm\right)\)

BC=6,4+3,6=10(cm)

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên AB^2=BH*BC; AC^2=CH*BC

=>AB^2=3,6*10=36; AC^2=6,4*10=64

=>AB=6cm; AC=8cm

b: ΔABC vuông tại B có BH là đường cao

nên AH*AK=AB^2

ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên BH*BC=BA^2

=>AH*AK=BH*BC

c: Xét ΔAEK vuông tại E và ΔAHC vuông tại H có

góc EAK chung

=>ΔAEK đồng dạng với ΔAHC

=>AE/AH=AK/AC

=>AE/AK=AH/AC

Xét ΔAEH và ΔAKC có

AE/AK=AH/AC

góc EAH chung

=>ΔAEH đồng dạng với ΔAKC

=>\(\dfrac{EH}{KC}=\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{3}{5}\)

=>HE=3/5KC

Xét tứ giác ABKC có:

\(B\chi\perp AB\) (gt)

\(AC\perp AB\) (gt)

\(\Rightarrow B\chi\text{//}AC\) 

\(\Rightarrow\text{Tứ giác ABKC}\) là hình thang

mà \(\widehat{A}=\widehat{B}=\)\(90^0\)

Vậy hình thang ABKC là hình thang vuông

b) Xét ΔABK và ΔCHA có:

\(\widehat{ABK}=\widehat{CHA}=\)\(90^0\)

\(\widehat{BAK}=\widehat{HCA} \) ( cùng phụ với \(\widehat{HAC}\) )

\(\Rightarrow\text{ΔABK}\) \(\sim\)ΔCHA (gg)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{CH}=\dfrac{AK}{CA}\)

\(\Rightarrow AB.CA=AK.CH\)

c)  Xét ΔAHB và ΔCHA có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=\)\(90^0\)

​\(\widehat{BAH}=\widehat{HCA}\)​ ( cùng phụ với \(\widehat{HAC}\) )​

\(\Rightarrow\Delta AHB\sim\Delta CHA\left(gg\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{BH}{AH}\)

\(\Rightarrow AH.AH=BH.CH\)

​\(\Rightarrow AH^2=BH.CH\)

​\(\Rightarrow AH^2=9.16\)

\(\Rightarrow AH=12\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H có:

\(AB^2=BH^2+HA^2\) ( Định lí Pitago)​​

\(\Rightarrow AB^2=9^2+12^2\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{225=15\left(cm\right)}\)

a, Xét tứ giác ABKC có: AC // BK ( cùng vuông góc vs AB)

=> Tứ giác ABKC là hình thang

mà \(\widehat{A}=90^o\)=> Tứ giác ABKC là hình thang vuông

b) Ta có: AC // BK => \(\widehat{AKB}=\widehat{CAH}\)( 2 góc so le trong)

Xét tam giác ABK và tam giác CHA có:

\(\widehat{ABK}=\widehat{CHA}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{AKB}=\widehat{CAH}\)(cmt)

=> Tam giác ABK đồng dạng với tam giác CHA

=> \(\frac{AB}{AK}=\frac{CH}{AC}\)=> AB. AC = AK.CH (đpcm)

c) Xét tam giác ABH và tam giác CAH có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}\left(=90^o\right)\)

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACH}\)( cùng phụ với góc HAC)

=> Tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH

=> \(\frac{AH}{BH}=\frac{CH}{AH}\)=> \(AH^2=BH.CH\)

d) Ta có: \(AH^2=BH.CH\)(cmc) => \(AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{9.16}=12\)(cm)

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: \(AB^2=BH^2+AH^2\)(định lý Pytago)

=> \(AB=\sqrt{BH^2+AH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\)(cm)

Vậy AB = 15cm, AH = 12cm

Chúc bạn học tốt

â ) Ta có : AC \(\perp\) AB ( tam giác ABC vuông tại A ) 

              : BK  \(\perp\)AB ( gt ) 

Do đo : AC // BK ( vì cùng vuông góc với AB ) 

Xét tứ giác ABKC , ta có :

\(\widehat{A}=90^O\) ( tam giác ABC vuông tại A ) 

\(\widehat{B}=90^O\left(gt\right)\)

AC // BK ( cmt )

Do đo : tứ giác ABKC là hình thang vuông 

b ) Ta co : AC // BK  ( cmt ) 

=> \(\widehat{K_1}=\widehat{A_2}\) ( hai góc so le trong của hai đường thẳng song song ) 

Xét :\(\Delta BAKva\Delta HCA,taco:\)

\(\widehat{B}=\widehat{H}=90^o\)

\(\widehat{K_1}=\widehat{A_2}\left(cmt\right)\)

Do do : \(\Delta BAK\) đồng dạng  \(\Delta HCA\)( g - g ) 

= > \(\frac{AB}{AK}=\frac{CH}{AC}\)

=> AC . AC = AK . CH 

c) CÂU NÀY CÓ 2 CÁCH NHA 

Cach 1 ) 

Ta có : \(\widehat{A_1}+\widehat{B_1}=90^o\) ( tổng số đo hai góc nhọn trong tam giác vuông ) 

mà   :  \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=90^o\) ( tia AK nằm giữa hai tia AB và AC ) 

nên \(\widehat{B_1}=\widehat{A_2}\) ( cung phụ vào góc  \(\widehat{A_1}\)  ) 

Xét : \(\Delta ABHva\Delta CAH,taco:\)

\(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}=90^o\)

 \(\widehat{B_1}=\widehat{A_2}=\left(cmt\right)\)

Do do : \(\Delta ABH\) đồng dạng  \(\Delta CAH\left(g-g\right)\)  

\(=>\frac{HC}{AH}=\frac{AH}{HB}\)

\(=>AH.AH=HB.HC\)

              \(AH^2=9.16\)

              \(AH^2=144\)

                \(AH=\sqrt{144}=12cm\)

Áp dụng định lý pytago vào \(\Delta ABH\) vuông tại H 

         \(AB^2=AH^2+BH^2\)

          \(AB=\sqrt{12^2+9^2}\)

            \(AB=\sqrt{144+81}\)

            \(AB=\sqrt{225}\)

            \(AB=15cm\)

Cách 2 : ( của lớp 9 nha ) 

Ta có : BC = BH + HC = 9 + 16 = 25cm ( vì H nằm giữa B và C ) 

Áp dụng hệ thức lượng vào \(\Delta ABC\) vuông tại A        ( \(\widehat{A}=90^o;AH\perp BC\) ) 

\(AB^2=BH.BC\)

\(AB^2=9.25\)

\(AB^2=225\)

\(AB=\sqrt{225}=15cm\)

Áp dụng định lý pytago vào \(\Delta ABH\) vuông tại H 

\(AH^2=AB^2-BH^2\)

\(AH^2=15^2-9^2\)

\(AH^2=225-81\)

\(AH^2=144\)

\(AH=\sqrt{144}=12cm\)

CÒN NHIỀU CÁCH NỮA NHA 

OK CHÚC BẠN HỌC TỐT !!!!! 

a) Ta có :  \(KB\perp AB\)

                 \(AC\perp AB\)

\(\Rightarrow BK//AC\)

\(\Rightarrow\) tứ giác ABKC là hình thang

b) Ta có BK // AC

\(\Rightarrow\widehat{AKB}=\widehat{KAC}\)( so le trong )

Xét tam giác BAK và tam giác HCA có :

\(\widehat{AKB}=\widehat{KAC}\)

\(\widehat{ABK}=\widehat{AHC}\left(=90^o\right)\)

\(\Rightarrow\)tam giác BAK đồng dạng với tam giác HCA ( g-g ) (đpcm)

\(\Rightarrow\frac{BA}{HC}=\frac{AK}{CA}\)

\(\Leftrightarrow AB\times AC=AK\times CH\left(đpcm\right)\)

c) Xét tam giác ABC và tam giác HBA có :

\(\widehat{BAC}=\widehat{AHB}\left(=90^o\right)\)

Chung  \(\widehat{ABC}\)

\(\Rightarrow\) tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA ( g-g )

\(\Rightarrow\frac{AB}{HB}=\frac{BC}{AB}\)

\(\Leftrightarrow AB^2=BC\times HB\)

\(\Leftrightarrow AB^2=\left(9+16\right)\times9\)

\(\Leftrightarrow AB^2=225\)

\(\Leftrightarrow AB=15\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác ABH vuông tại H ta có :

\(BH^2+AH^2=AB^2\)

\(\Leftrightarrow9^2+AH^2=15^2\)

\(\Leftrightarrow81+AH^2=225\)

\(\Leftrightarrow AH=12\left(cm\right)\)

Vậy AB = 15 cm ; AH = 12 cm

bạn xem có sai đề ko ạ