Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao.
a) BH = 3,6cm, CH = 6,4cm. Tính AH, AC, AB, góc HAC
b) Qua B kẻ Bx // AC. Bx cắt AH tại K. Chứng minh AH.AK = BH.BC
c) Kẻ KE vuông góc AC. Chứng minh \(HE=\dfrac{3}{5}KC\) (sử dụng số đo ở câu a)
d) Gọi I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác ABC. Gọi r là khoảng cách từ I đến BC. Chứng minh \(\dfrac{r}{AH}\ge\dfrac{1}{3}\)
Giúp em câu c và d ạ. Em cảm ơn mọi người.
Lời giải:
a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:
$AH=\sqrt{BH.CH}=\sqrt{3,6.6,4}=4,8$ (cm)
Áp dụng định lý Pitago:
$AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{4,8^2+3,6^2}=6$ (cm)
$AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{4,8^2+6,4^2}=8$ (cm)
$\tan \widehat{HAC}=\frac{CH}{AH}=\frac{6,4}{4,8}\Rightarrow \widehat{HAC}=53,1^0$
b. $Bx\parallel AC\Rightarrow Bx\perp AB$ hay tam giác $ABK$ vuông tại $A$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông với $ABK, ABC$ thì:
$AH.AK=AB^2$
$BH.BC=AB^2$
$\Rightarrow AH.AK=BH.BC$ (đpcm)
c.
Tứ giác $KHEC$ có $\widehat{KHC}=\widehat{KEC}=90^0$ nên $KHEC$ là tgnt
$\Rightarrow \triangle AHE\sim \triangle ACK$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{HE}{CK}=\frac{AH}{AC}=\frac{4,8}{8}=\frac{3}{5}$ (đpcm)
d.
Gọi $AB=c, AC=b$
$\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{b^2+c^2}{b^2c^2}$
$S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{bc}{a+b+c}=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}+b+c}$
$\Rightarrow r^2=\frac{b^2c^2}{(\sqrt{b^2+c^2}+b+c)^2}$
Vậy:
\(\frac{r^2}{AH^2}=\frac{b^2+c^2}{(\sqrt{b^2+c^2}+b+c)^2}\)
Theo BĐT AM-GM: $(b+c)^2\leq 2(b^2+c^2)$
$\Rightarrow b+c\leq \sqrt{2(b^2+c^2)}$
\(\Rightarrow \frac{r^2}{AH^2}\geq \frac{b^2+c^2}{(\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{2(b^2+c^2)})^2}=\frac{1}{(1+\sqrt{2})^2}> \frac{1}{9}\)
$\Rightarrow \frac{r}{AH}>\frac{1}{3}$
