a, Vì tam giác ABC là tam giác cân nên góc BAC=góc BCA (1)

Mà AM là tia phân giác của góc BAC=> góc BAM=Góc MAC (2)

CN là tia phân giác của góc BCA nên góc BCN= góc NCA (3)

Từ (1) (2)(3) suy ra góc BAM=góc BNC 

Xét 2 tam giác ABM và tam giác CBN, ta có: 

Góc B chung 

BAM=BCN (cmt)

=>tam giác ABM đồng dạng với tam giác CBN(g.g)

b, Vì tam giác ABM đồng dạng với tam giác CBN (theo câu a) nên ta có tỉ lệ sau:

BM/BN=BC/BA=>NM//AC( định lý Ta-lét) (đcpcm) 

a)Xét tam giác ABM và tam giác BCN có:

+AB=CB(Theo D/lí tam giác cân)

+Góc B chung

+AM=CN(Vì là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

=> Tam giác ABM=BCN(theo t.hợp C.G.C)\

Vậy tam giác ABM=tam giác BCN

 a) Xét \(\Delta ABM\)và  \(\Delta CBN\)có : 

\(\widehat{B}\)là góc chung 

\(\frac{AB}{BC}=\frac{NB}{MB}\)( Do tam giác ABC cân tại B , \(AB=BC\) và    \(\widehat{A}=\widehat{C}\))

 \(\Rightarrow\Delta ABM\)\(\infty\)\(\Delta CBN\)\(\left(c.g.c\right)\)

 b)  do \(\Delta ABM\infty\Delta BCN\left(c.g.c\right)\)(chứng minh câu a)

 ta có tỉ lệ :  \(\frac{BM}{BC}=\frac{BN}{AB}\)=MN/AC(dpcm)

c) bạn tự làm nka câu này dễ

a, Xét hai tam giác ABM và CBM có:

\(\widehat{B}\) là góc chung

\(\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{NB}{MB}\) ( Do tam giác ABC  cân tại B)

=> tam giác ABM đồng dạng tam giác CBM (c.g.c)

b, Do tam giác ABM∼ tam giác CBN  nên ta có tỉ lệ:

\(\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{BN}{AB}\) => MN // AC (đpcm)

a) Xét ΔABC có 

BM là đường phân giác ứng với cạnh AC(gt)

nên \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{CM}{BC}\)

hay \(\dfrac{AM}{CM}=\dfrac{AB}{BC}\)(1)

Xét ΔABC có 

CN là đường phân giác ứng với cạnh AB(gt)

nên \(\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{BN}{BC}\)

hay \(\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AC}{BC}\)(2)

Ta có: ΔABC cân tại A(gt)

nên AB=AC(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{AN}{BN}=\dfrac{AM}{MC}\)

hay MN//BC(Đpcm)

b) Ta có: \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{CM}{BC}\)(cmt)

nên \(\dfrac{AM}{5}=\dfrac{CM}{6}\)

mà AM+CM=AC(M nằm giữa A và C)

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AM}{5}=\dfrac{CM}{6}=\dfrac{AM+CM}{5+6}=\dfrac{AC}{11}=\dfrac{5}{11}\)
Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{AM}{5}=\dfrac{5}{11}\\\dfrac{CM}{6}=\dfrac{5}{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AM=\dfrac{25}{11}\left(cm\right)\\CM=\dfrac{30}{11}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Xét ΔABC có MN//BC(cmt)

nên \(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AC}\)(Hệ quả Định lí Ta lét)

\(\Leftrightarrow\dfrac{MN}{6}=\dfrac{25}{11}:5=\dfrac{25}{11}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{11}\)

hay \(MN=\dfrac{30}{11}\left(cm\right)\)

c) Nửa chu vi của ΔABC là:

\(P_{ABC}=\dfrac{AB+AC+BC}{2}=\dfrac{5+5+6}{2}=\dfrac{16}{2}=8\left(cm\right)\)

Diện tích tam giác ABC là:
\(S_{ABC}=\sqrt{8\cdot\left(8-5\right)\cdot\left(8-5\right)\cdot\left(8-6\right)}=\sqrt{8\cdot3\cdot3\cdot2}=\sqrt{16\cdot9}=4\cdot3=12\left(cm^2\right)\)

Ta có: ΔANM∼ΔABC(gt)

nên \(\dfrac{S_{ANM}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AM}{AC}\right)^2=\left(\dfrac{5}{11}\right)^2=\dfrac{25}{121}\)

\(\Leftrightarrow S_{ANM}=\dfrac{25}{121}\cdot12=\dfrac{300}{121}\left(cm^2\right)\)

1. Ta có tam giác ABC cân tại A, do đó AB = AC.

Gọi I là giao điểm của đường phân giác góc B và đường phân giác góc C.

Ta cần chứng minh MN // BC.

Ta có:

∠BIM = ∠CIM (do I nằm trên đường phân giác góc B và đường phân giác góc C)

∠BIM = ∠CIM = ∠BIC/2 (do I nằm trên đường phân giác góc B và đường phân giác góc C)

∠BIC = ∠BAC (do tam giác ABC cân tại A)

∠BIC = ∠BAC = ∠BCA (do tam giác ABC cân tại A)

Do đó, ta có ∠BIM = ∠CIM = ∠BCA.

Từ đó, ta có MN // BC (do ∠MNI = ∠BCA và ∠MIN = ∠BAC).

Vậy ta đã chứng minh MN // BC.

2. a) Ta có BF/BE = 2/3.

Gọi x là độ dài của BE.

Do BF/BE = 2/3, ta có BF = (2/3)x.

Gọi y là độ dài của FE.

Do FE = 12cm, ta có y = 12cm.

Gọi z là độ dài của IF.

Do I là giao điểm của FE và BD, ta có IF/FE = BD/BE.

Do đó, IF/12 = BD/x.

Ta có BD = BC + CD = BC + BA = BC + BE.

Do đó, IF/12 = (BC + BE)/x.

Ta có BF/BE = 2/3, nên BF = (2/3)x.

Do đó, BC = BF + FC = (2/3)x + (1/3)x = x.

Vậy, IF/12 = (x + x)/x = 2.

Từ đó, ta có IF = 2 * 12 = 24cm.

Do đó, IE/IF = BE/FE = x/12.

Vậy, IE/IF = x/12.

b) Giả sử FE = 12cm.

Từ phần a), ta đã tính được IF = 24cm.

Do đó, IE/IF = x/12.

Ta cần tính x.

Ta có BF/BE = 2/3, nên BF = (2/3)x.

Do BF = (2/3)x và BC = x, ta có BC = BF + FC.

Do đó, x = (2/3)x + FC.

Từ đó, FC = (1/3)x.

Vậy, BC = BF + FC = (2/3)x + (1/3)x = x.

Do đó, BC = x = 12cm.

Vậy, độ dài của IE và IF lần lượt là 12cm và 24cm.

1: Xét ΔABC có BM là phân giác

nên \(\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AB}{BC}\)

=>\(\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AC}{BC}\left(1\right)\)

Xét ΔCAB có CN là phân giác

nên \(\dfrac{AN}{NB}=\dfrac{AC}{BC}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AN}{NB}\)

Xét ΔABC có \(\dfrac{AM}{MC}=\dfrac{AN}{NB}\)

nên MN//BC