SSH:(20152-12):10+1=2015

(12-22)+(32-42)+(52-62)+...+(20132-20142)+20152

-10+(-10)+(-10)+...+(-10)+20152

-10x(2015-1):2+20152=12

=> C=12

Ta có:

3M=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+2012.2013.3

3M=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+...+2012.2013.(2014-2011)

3M=1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+2012.2013.2014-2011.2012.2013

3M=2012.2013.2014

3M=8157014184

M=8157014184:3

M=2719004728

Lời giải:

$(1.2+2.3+3.4+...+2012.2013)-(2^2+3^2+...+2013^2)$

$=[(2-1).2+(3-1).3+(4-1).4+...+(2013-1).2013]-(2^2+3^2+...+2013^2)$

$=(2^2+3^2+4^2+...+2013^2)-(2+3+4+...+2013)-(2^2+3^2+...+2013^2)$

$=-(2+3+4+...+2013)$

$=1-(1+2+3+...+2013)$

$=1-2013.2014:2=1-2027091=-2027090$

(1.2+2.3+3.4+.....+2012.2013)-(2²+3²+4²+......+2013²)

= 1.2 + 2.3 + 3.4 +...+ 2012.2013 - 2² -3² - 4² -....-2013²

=1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+2012.2013 - 2.2 -3.3 - 4.4 -...- 2013.2013

=(1.2 - 2.2) + (2.3 - 3.3) + (3.4 - 4.4) + ...+(2012.2013 - 2013.2013)

=2.(1-2) + 3.(2-3) + 4.(3-4) +...+2013.(2012-2013)

=2.(-1) + 3.(-1) + 4.(-1) + ...+2013.(2012-2013)

= -2 - 3 - 4 -...- 2013

= -(2+3+4+...+2013)

= -[(2013+2).2012:2]

=-2027090

\(A=1\cdot2+2\cdot3+...+151\cdot152\)

\(=1\left(1+1\right)+2\left(1+2\right)+...+151\left(1+151\right)\)

\(=\left(1+2+3+...+151\right)+\left(1^2+2^2+...+151^2\right)\)

\(=\dfrac{151\left(151+1\right)}{2}+\dfrac{151\left(151+1\right)\left(2\cdot151+1\right)}{6}\)

\(=151\cdot76+\dfrac{151\cdot152\cdot303}{6}\)

\(=151\cdot76+151\cdot7676=1170552\)

\(C=2\cdot4+4\cdot6+...+2024\cdot2026\)

\(=2\cdot2\left(1\cdot2+2\cdot3+...+1012\cdot1013\right)\)

\(=4\left[1\left(1+1\right)+2\left(1+2\right)+...+1012\left(1+1012\right)\right]\)

\(=4\left[\left(1+2+...+1012\right)+\left(1^2+2^2+...+1012^2\right)\right]\)

\(=4\left[1012\cdot\dfrac{1013}{2}+\dfrac{1012\left(1012+1\right)\left(2\cdot1012+1\right)}{6}\right]\)

\(=4\left[506\cdot1013+345990150\right]\)

\(=1386010912\)

\(M=1^2+2^2+...+2024^2\)

\(=\dfrac{2024\left(2024+1\right)\cdot\left(2\cdot2024+1\right)}{6}\)

\(=2024\cdot2025\cdot\dfrac{4049}{6}\)

=2765871900

\(N=1^3+2^3+...+100^3\)

\(=\left(1+2+3+...+100\right)^2\)

\(=\left[\dfrac{100\left(100+1\right)}{2}\right]^2\)

\(=\left[50\cdot101\right]^2=5050^2\)

\(Q=1^3+2^3+...+2024^3\)

\(=\left(1+2+3+...+2024\right)^2\)

\(=\left[\dfrac{2024\left(2024+1\right)}{2}\right]^2\)

\(=\left[1012\left(2024+1\right)\right]^2\)

\(=2049300^2\)