Từ \(\frac{a^2+b^2}{a-2b}=2\Rightarrow a^2+b^2=2\left(a-2b\right)\)  

\(\Leftrightarrow a^2+b^2=2a-4b\) 

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+4b=2a\)

\(\Leftrightarrow a.a+b.b+4b=2.a\)

\(\Leftrightarrow a.a+b\left(b+4\right)=2.a\) 

\(\Leftrightarrow2.a-a.a=b\left(b+4\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{b+4}{2-a}\)

Mà muốn P lớn nhất thì a,b phải lớn nhất \(\Rightarrow a=b+4;b=2-a\)

\(\Leftrightarrow a+b=2\Leftrightarrow b+4+b=2\Leftrightarrow2b=-2\Rightarrow b=-1;a=3\)

\(\Rightarrow P=8a+4b=24-4=20\)

Ta có: \(b=0,25P-2a\) thế ngược lên trên ta được

\(\frac{a^2+\left(0,25P-2a\right)^2}{a-2\left(0,25P-2a\right)}=2\)

\(\Leftrightarrow80a^2-a\left(16P+160\right)+P^2+16P=0\)

Để PT có nghiệm thì:

\(\Delta'\ge0\)

Làm tiếp nhé

bạn cx thi violympic ak

You guess well.

\(\frac{a^2+b^2}{a-2b}=2\Rightarrow a^2+b^2-2a+4b=0\Rightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b+2\right)^2=5\)

Đặt \(a-1=x,b+2=y\Rightarrow x^2+y^2=5\), khi đó:

\(P=8a+4b=8\left(x+1\right)+4\left(y-2\right)=8x+4y\)

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz, ta có:

\(P^2=\left(8x+4y\right)^2\le\left(8^2+4^2\right)\left(x^2+y^2\right)=400\)

\(\Rightarrow P\le20\)

Vậy \(MaxP=20\) khi ...

Bỏ số 2013 trong biểu thức cần tìm GTLN cho đơn giản!

\(\left(a-2\right)^2+\left(b-1\right)^2=545\)

Đặt \(a-2=x;\text{ }b-1=y\text{ }\Rightarrow x^2+y^2=545.\)

\(P=23\left(x+2\right)+4\left(y+1\right)+2013=23x+4y+50\)

Ta có: \(\left(A^2+B^2\right)\left(X^2+Y^2\right)-\left(AX+BY\right)^2=\left(AY-BX\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(A^2+B^2\right)\left(X^2+Y^2\right)\ge\left(AX+BY\right)^2\)

Dấu bằng xảy ra khi \(AY-BX=0\Leftrightarrow AY=BX\)

Áp dụng: \(\left(23.x+4.y\right)^2\le\left(23^2+4^2\right)\left(x^2+y^2\right)=545.545=545^2\)

\(\Rightarrow23x+4y\le545\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\int^{23y=4x}_{23x+4y=545}\Leftrightarrow\int^{x=23}_{y=4}\)

\(\Rightarrow maxP=545+50=595\)