Đặt \(z=x+yi\)

\(\left|x+yi+x-yi+2\right|+2\left|x+yi-x+yi-2i\right|\le12\)

\(\Leftrightarrow\left|2x+2\right|+4\left|\left(y-1\right)i\right|\le12\)

\(\Leftrightarrow\left|x+1\right|+2\left|y-1\right|\le6\)

Tập hợp z là miền trong hình thoi (gồm cả biên) với 4 đỉnh: \(A\left(-7;1\right)\) ; \(B\left(-1;4\right)\) ; \(C\left(5;1\right)\) ; \(D\left(-1;-2\right)\)

\(P^2=\left|z-4-4i\right|^2=\left(x-4\right)^2+\left(y-4\right)^2\)  có tập hợp là đường tròn (C) tâm \(I\left(4;4\right)\) bán kính \(R=P>0\) sao cho (C) và hình thoi ABCD có ít nhất 1 điểm chung

Từ hình vẽ ta thấy \(P_{max}\) khi (C) đi qua A \(\Rightarrow P=IA\) và \(P_{min}\) khi (C) tiếp xúc BC  \(\Rightarrow P=d\left(I;BC\right)\)

\(\overrightarrow{IA}=\left(-11;-3\right)\Rightarrow M=IA=\sqrt{130}\)

\(\overrightarrow{BC}=\left(6;-3\right)\Rightarrow\) đường thẳng BC nhận (1;2) là 1 vtpt

Phương trình BC: \(1\left(x+1\right)+2\left(y-4\right)=0\Leftrightarrow x+2y-7=0\)

\(\Rightarrow m=d\left(I;BC\right)=\dfrac{\left|4+2.4-7\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow M+m=\sqrt{130}+\sqrt{5}\)

a) Ta có z. z  = z 2  nên từ  z  = z 3  ⇒  z 2  = z 4

Đặt z = a+ bi , suy ra:

a 4  + b 4  − 6 a 2 b 2  + 4ab( a 2  − b 2 )i =  a 2  +  b 2  (∗)

Do đó, ta có: 4ab( a 2  −  b 2 ) = 0 (∗∗)

Từ (∗∗) suy ra các trường hợp sau:

     +) a = b = 0 ⇒ z = 0

     +) a = 0, b ≠ 0: Thay vào (∗), ta có b 4  =  b 2  ⇒ b = 1 hoặc b = -1 ⇒ z = i hoặc z = -1

     +) b = 0, a ≠ 0: Tương tự, ta có a = 1 hoặc a = -1 ⇒ z = 1 hoặc z = -1

   +) a ≠ 0, b ≠ 0 ⇒  a 2  −  b 2  = 0⇒  a 2  =  b 2 , thay vào (∗) , ta có:

2 a 2 (2 a 2  + 1) = 0, không có a nào thỏa mãn (vì a ≠ 0 )

b) Đặt z = a + bi. Từ |z| + z = 3 + 4i suy ra

⇒  a 2  + 16 = ( 3 - a ) 2  = 9 − 6a +  a 2

⇒ 6a = −7 ⇒ a = −7/6

Vậy z = −7/6 + 4i

Lời giải:

Đặt \(z=a+bi\). Ta có: \(|z|\leq 2\Leftrightarrow a^2+b^2\leq 4\)

Có:

\(p=2|z+1|+2|z-1|+|z-\overline{z}-4i|\)

\(=2|(a+1)+bi|+2|(a-1)+bi|+|(a+bi)-(a-bi)-4i|\)

\(=2\sqrt{(a+1)^2+b^2}+2\sqrt{(a-1)^2+b^2}+\sqrt{(2b-4)^2}\)

\(=2\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}+4-2b\)

(do \(a^2+b^2\leq 4\Rightarrow b^2\leq 4\Rightarrow b\leq 2\Rightarrow \sqrt{(2b-4)^2}=4-2b\) )

\(\Leftrightarrow p=2[\sqrt{(a+1)^2+b^2}+\sqrt{(a-1)^2+b^2}-b+2]\)

Theo BĐT Mincopxky :

\(p\geq 2(\sqrt{(a+1+1-a)^2+(b+b)^2}-b+2)\)

\(\Leftrightarrow p\geq 2(2\sqrt{b^2+1}-b+2)\)

Xét \(f(b)=2\sqrt{b^2+1}-b+2\) với \(b\in [-2;2]\)

Có: \(f'(b)=\frac{2b}{\sqrt{b^2+1}}-1=0\Leftrightarrow b=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}\)

Lập bảng biến thiên ta suy ra \(f(b)_{\min}=f(\frac{\sqrt{3}}{3})=2+\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow p\geq 2f(b)\geq 2(2+\sqrt{3})\)

Vậy \(p_{\min}=4+2\sqrt{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi \(b=\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{a+1}{1-a}=\frac{b}{b}=1\Rightarrow a=0\)

Cho z là một số nào đó (vd: z = 2 + 3i) rồi xét đáp án

=> chọn câu C

Đặt \(z=x+yi\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+y^2}+x+yi=3+4i\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+y^2}+x=3\\y=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+16}+x=3\Leftrightarrow\sqrt{x^2+16}=3-x\) (\(x\le3\))

\(\Leftrightarrow x^2+16=x^2-6x+9\Rightarrow6x=-7\Rightarrow x=-\frac{7}{6}\)

\(\Rightarrow z=-\frac{7}{6}+4i\)

A bạn nhá