a) Ta có z. z = z 2 nên từ z = z 3 ⇒ z 2 = z 4
Đặt z = a+ bi , suy ra:
a 4 + b 4 − 6 a 2 b 2 + 4ab( a 2 − b 2 )i = a 2 + b 2 (∗)
Do đó, ta có: 4ab( a 2 − b 2 ) = 0 (∗∗)
Từ (∗∗) suy ra các trường hợp sau:
+) a = b = 0 ⇒ z = 0
+) a = 0, b ≠ 0: Thay vào (∗), ta có b 4 = b 2 ⇒ b = 1 hoặc b = -1 ⇒ z = i hoặc z = -1
+) b = 0, a ≠ 0: Tương tự, ta có a = 1 hoặc a = -1 ⇒ z = 1 hoặc z = -1
+) a ≠ 0, b ≠ 0 ⇒ a 2 − b 2 = 0⇒ a 2 = b 2 , thay vào (∗) , ta có:
2 a 2 (2 a 2 + 1) = 0, không có a nào thỏa mãn (vì a ≠ 0 )
b) Đặt z = a + bi. Từ |z| + z = 3 + 4i suy ra
⇒ a 2 + 16 = ( 3 - a ) 2 = 9 − 6a + a 2
⇒ 6a = −7 ⇒ a = −7/6
Vậy z = −7/6 + 4i
