Sau gần một buổi trưa lăn lội với Thales, đồng dạng ở câu b thì t đã nghĩ đến cách của lớp 7 ~ ai dè làm được ^^

Sao bổ sung hình vẽ không được vậy nè

1: Xét tứ giác AFHE có

\(\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=\widehat{FAE}=90^0\)

Do đó: AFHE là hình chữ nhật

a: Ta có: E và H đối xứng nhau qua AB

nên AB là đường trung trực của EH

Suy ra: AB\(\perp\)EH tại M và M là trung điểm của EH

Ta có: H và F đối xứng nhau qua AC

nên AC là đường trung trực của HF

Suy ra: AC\(\perp\)HF tại N và N là trung điểm của FH

Xét tứ giác AMHN có 

\(\widehat{MAN}=\widehat{ANH}=\widehat{AMH}=90^0\)

Do đó: AMHN là hình chữ nhật

a)Xét tứ giác AFDE có :góc AED = 90°(gt)góc EAF = 90 °(gt)góc AFD =90 °(gt)=> Tứ giác AFDE là hình chữ nhật ( dhnb)(đcpcm)

Xét \(\Delta ABC\)có:

DB = DA (giả thiết)

AE = CE (giả thiết)

\(\Rightarrow DE\)là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(DE//BC\)(tính chất) \(\Rightarrow DE//BF\)(1)

Và \(2DE=BC\)(tính chất)

Mà \(2BF=BC\)(vì \(BF=CF\))

\(\Rightarrow2DE=2BF\Rightarrow DE=BF\)(2)

Xét tứ giác BDEF có: (1) và (2).

\(\Rightarrow BDEF\)là hình bình hành.

Vậy BDEF là hình bình hành.

b) Ta có : \(BH\perp AC\)(giả thiết)

\(\Rightarrow\Delta HAB\)vuông tại H.

\(\Delta HAB\)vuông tại H có trung tuyến HD ứng với cạnh huyền AB.

\(\Rightarrow HD=BD\)

\(\Rightarrow D\)thuộc đường trung trực của BH (3).

Lại có \(BH\perp AC\)(giả thiết)

\(\Rightarrow\Delta HBC\)vuông tại H.

\(\Delta HBC\)vuông tại H có trung tuyến HF ứng với cạnh huyền BC.

\(\Rightarrow HF=BF\)

\(\Rightarrow F\)thuộc đường trung trực của BH (4)

Từ (3) và (4).

\(\Rightarrow DF\)là đường trung trực của BH.

Do đó B đối xứng với H qua DF (điều phải chứng minh).

a) Ta có: \(AB^2+AC^2=6^2+8^2=36+64=100\)

\(BC^2=10^2=100\)

=> \(AB^2+AC^2=BC^2\)

=> Tg ABC vuông tại A(định lí Pytago đảo)

b) _D đối xứng với H qua AB(gt)=>DH vuông góc AB hay MH vuông góc AB. Mà AB vuông góc AC =>AC //MH hay AN // MH(1)

_Cm tương tự: AM //HN(2)

_(1),(2)=> Tứ giác AMHN là hình bình hành

Mà ^MAN=90° => AMHN là hcn

=> AH=MN (đpcm)

c) _Nối D với E, A với E

_Tg AHN =tg AEN(c.g.c) => AE=AH(3)

Mà AH=MN(cmt) => MN=AE(4)

(3),(4)=> AMNE là hbh => AE // MN(*); AE=MN(5)

_ Xét tg DEH ta có: M là trung điểm DH; N là trung điểm EH (tích chất đối xứng)

=> MN là đường trung bình của tg DEH

=> MN // DE(**); MN= DE/2(6)

_(*),(**)=> D, A, E thẳng hàng(7)

_(5),(6)=> AE= DE/2 kết hợp với (7)=> A là trung điểm DE 

=> D đối xứng với E qua A