\(A=3+3^2+3^3+...+3^{100}\)

\(\Leftrightarrow3A=3^2+3^3+3^4+3^5+....+3^{101}\)

\(\Leftrightarrow3A-A=\left(3^2+3^3+3^4+3^5+...+3^{101}\right)-\left(3+3^2+3^3+3^4+...+3^{100}\right)\)

\(\Leftrightarrow2A=3^{101}-3\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{3^{101}-3}{2}< 3^{100}-1\)

\(\Leftrightarrow A< B\)

a. tính A = 3+3^2+3^3+3^4+.....+3^100

3A=3^2+3^3+3^4+3^5+....+3^100

3A-A=(3^2+3^3+3^4+....+3^101)-(3+3^2+3^3+3^4+.....+3^100)=3^101-3=3^100

mà B=3^100-1 => A<B

\(A=1+4+4^2+...+4^{99}\)

\(\Leftrightarrow4A=4+4^2+4^3+...+4^{100}\)

\(\Leftrightarrow3A=4^{100}-1\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{4^{100}-1}{3}< \frac{4^{100}}{3}\)

hay A<B (đpcm)

4A=4+4^2+4^3+4^4+....+4^100

4A-A=4^100-1

=>3A=4^100-1 mà 4^100-1<4^100

=>3A<B  =>A<B/3(đpcm) 

Ta có: A = 1+4+4^2+4^3+...+4^99  
=> 4A = 4.(1+4+4^2+4^3+...+4^99)
=> 4A = 4+4^2+4^3+...+4^99+4^100 
=> 4A - A = (4+4^2+4^3+...+4^99+4^100) - (1+4+4^2+4^3+...+4^99) 
=> 3A = 4^100 - 1 
=> A = 4^100-1/3 < 4^100/3 mà B = 4^100 
=> A < 4^100/3 
Bài toán đã được chứng minh.

 

\(A=1+4+4^2+4^3+...+4^{99}\)

\(4A=4+4^2+4^3+4^4+...+4^{100}\)

\(4A-A=\left(4+4^2+4^3+4^4+...+4^{100}\right)-\left(1+4+4^2+4^3...+4^{99}\right)\)

\(3A=4^{100}-1\)

\(A=\frac{4^{100}}{3}-\frac{1}{3}=\frac{B}{3}-\frac{1}{3}\)

Vậy \(A< \frac{B}{3}\)

  A=1+4+4²+...+4⁹⁹

4A=4+4²+4³+...+4¹⁰⁰

4A-A=3A=(4+4²+...+4¹⁰⁰)-(1+4+4²+...+4⁹⁹)

 3A=4¹⁰⁰-1

Ta thấy: 3A<B =>A<B/3 (điều phải chứng minh)

2:

\(B=\left(\dfrac{1}{2^2}-1\right)\left(\dfrac{1}{3^2}-1\right)\cdot...\cdot\left(\dfrac{1}{100^2}-1\right)\)

\(=\left(\dfrac{1}{2}-1\right)\left(\dfrac{1}{2}+1\right)\left(\dfrac{1}{3}-1\right)\left(\dfrac{1}{3}+1\right)\cdot...\cdot\left(\dfrac{1}{100}-1\right)\left(\dfrac{1}{100}+1\right)\)

\(=\left(\dfrac{1}{2}-1\right)\left(\dfrac{1}{3}-1\right)\cdot...\cdot\left(\dfrac{1}{100}-1\right)\left(\dfrac{1}{2}+1\right)\left(\dfrac{1}{3}+1\right)\cdot...\cdot\left(\dfrac{1}{100}+1\right)\)

\(=\dfrac{-1}{2}\cdot\dfrac{-2}{3}\cdot...\cdot\dfrac{-99}{100}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{4}{3}\cdot...\cdot\dfrac{101}{100}\)

\(=-\dfrac{1}{100}\cdot\dfrac{101}{2}=\dfrac{-101}{200}< -\dfrac{100}{200}=-\dfrac{1}{2}\)

\(=>4A=4+4^2+...+4^{99}+4^{100}\)

\(=>4A-A=\left(4+4^2+...+4^{99}+4^{100}\right)-\left(1+4+4^2+...+4^{99}\right)\)

\(=>3A=4^{100}-1\)

\(=>A=\frac{4^{100}-1}{3}\)

\(\frac{1}{3}B=\frac{4^{100}}{3}\)

=> A<\(\frac{1}{3}B\)

A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4⁹⁹

4A = 4( 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4⁹⁹ )

4A = 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹⁰⁰

4A - A = 3A

= ( 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹⁰⁰ ) - ( 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4⁹⁹ )

= 4 + 4² + 4³ + ... + 4¹⁰⁰ - 1 - 4 - 4² - 4³ - ... - 4⁹⁹

= 4¹⁰⁰ - 1

=> \(A=\frac{4^{100}-1}{3}\)

B = 4¹⁰⁰ => \(\frac{1}{3}B=4^{100}\cdot\frac{1}{3}=\frac{4^{100}}{3}\)

\(4^{100}-1< 4^{100}\Rightarrow\frac{4^{100}-1}{3}< \frac{4^{100}}{3}\Rightarrow A< \frac{1}{3}B\left(đpcm\right)\)

\(A=1+4+4^2+...+4^{99}\)

=>\(4A=4+4^2+4^3+...+4^{100}\)

=>\(4A-A=\left(4+4^2+4^3+...+4^{100}\right)-\left(1+4+4^2+...+4^{98}\right)\)

=>\(3A=4^{100}-1\)

=>\(A=\frac{4^{100}-1}{3}< \frac{4^{100}}{3}=\frac{B}{3}\)

Ta có đpcm

4A=4+4²+4³+4⁴+...+4⁹⁹+4¹⁰⁰

=> 4A-A=4+4²+4³+4⁴+...+4⁹⁹+4¹⁰⁰-(1+4+4²+4³+4⁴+...+4⁹⁹)=4¹⁰⁰-1

=> 3A=4¹⁰⁰-1 => A=\(\frac{4^{100}-1}{3}=\frac{4^{100}}{3}-\frac{1}{3}=\frac{B}{3}-\frac{1}{3}\)

=> A < B/3

A=1+4+4²+4³+.......+4⁹⁹                                                                                                                                                                                     4A=4+4²+4³+4⁴+.....+4¹⁰⁰                                                                                                                                                                                 4A-A=4+4²+4³+4⁴+.....+4¹⁰⁰ -1-4-4²-4³-.......-4⁹⁹                                                                                                                                                                                            3A=4¹⁰⁰-1 => A=(4¹⁰⁰-1)/3                                                                                                                                                                                 Vì 4¹⁰⁰>4¹⁰⁰-1 nên (4¹⁰⁰-1)/3 < 4¹⁰⁰/3 HAY A<B/3(ĐPCM)