Gọi AM, BN, CP là các đường trung tuyến của ∆ABC cắt nhau tại G.

                        AG = GD (gt)

                        AG = 2GM (suy ra từ tính chất đường trung tuyến)

Nên            GD  = 2GM

                   GD = GM + MD

=> GM = MD

Xét ∆BMD và ∆CMG:

                   BM = CM (gt)

\(\widehat{BND}=\widehat{CMG}\left(\text{đối đỉnh}\right)\)

                    MD = GM (chứng minh trên)

Do đó: ∆BMD = ∆CMG (c.g.c)

=> BD = CG

\(CG=\frac{2}{3}CP\left(\text{tính chất đường trung tuyến}\right)\)

\(\Rightarrow BD=\frac{2}{3}CP\) (1)

     \(BG=\frac{2}{3}BN\left(\text{tính chất đường trung tuyến}\right)\) (2)

    \(AG=\frac{2}{3}AM\left(\text{tính chất đường trung tuyến}\right)\)

\(\Rightarrow GD=\frac{2}{3}AM\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra các cạnh của \(\Delta BGD=\frac{2}{3}\) các đường trung tuyến của \(\Delta ABC\)

GM = MD (chứng minh trên)

Nên BM = MD là đường trung tuyến của ∆BGD

\(BM=\frac{1}{2}BC\) (4)

Kẻ đường trung tuyến GE và DF của ∆BGD 

\(\Rightarrow FG=\frac{1}{2}BG\)

\(GN=\frac{1}{2}BG\left(\text{tính chất đường trung tuyến}\right)\) 

Nên FN = GN

Xét ∆DFG và ∆ANG:

AG = GD (gt)

\(\widehat{DGF}=\widehat{AGN}\left(\text{đối đỉnh}\right)\)

GF = GN (chứng minh trên)

Do đó ∆DFG  = ∆ANG (c.g.c)

=> DF = AN            

\(AN=\frac{1}{2}AC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow DF=\frac{1}{2}AC\) (5)

  BD = CG (chứng minh trên)

\(ED=\frac{1}{2}BD\left(\text{vì E là trung điểm BD}\right)\)

\(GP=\frac{1}{2}CG\left(\text{tính chất đường trung tuyến}\right)\)

=> ED = GP

∆BDM = ∆CGM (chứng minh trên)

\(\Rightarrow\widehat{BDM}=\widehat{CGM}\text{ hay }\widehat{CGM}\)

\(\widehat{CGM}=\widehat{PGA}\left(\text{đối đỉnh}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EDG}=\widehat{PGA}\)

             AG = GD (gt)

=> ∆PGA = ∆EDG (c.g.c)

=> GE = AP

\(\Rightarrow GE=\frac{1}{2}AB\)(6)

Từ (4),(5) và (6) suy ra các đường trung tuyến của ∆BGD bằng một nửa cạnh của ∆ABC.

KHÔNG BIẾT VÌ HỌC LỚP 6

Gọi AM, BN, CP lần lượt là các đường trung tuyến của ΔABC. Các đường trung tuyến cắt nhau tại G.

Ta có: AG = GD (gt)

AG = 2GM (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: GD = 2GM

Mà GD = GM + MD ⇒ GM = MD

Xét ΔBMD và ΔCMG, ta có:

BM = CM (gt)

∠(BMD) = ∠(CMG) (đối đỉnh)

MD = GM (chứng minh trên)

Suy ra: ΔBMD = ΔCMG (c.g.c)

⇒ BD = CG (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác: CG = 2/3 CP (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: BD = 2/3 CP (1)

Lại có: BG = 2/3 BN (tính chất đường trung tuyến) (2)

Và AG = 2/3 AM (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: GD = 2/3 AM (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra các cạnh của tam giác BGD bằng 2/3 các đường trung tuyến của tam giác ABC.

ngta bài khó , ngta mới hỏi rồi lại hỏi lại ngta là sao ?

Ta có: GM = MD (chứng minh trên)

Suy ra BM là đường trung tuyến của tam giác BGD.

Suy ra: BM = 1/2 BC (4)

Kẻ đường trung tuyến GE và DF của tam giác BGD, ta có:

FG = 1/2 BG (tính chất đường trung tuyến)

GN = 1/2 GB (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: FG = GN

Xét ΔDFG và ΔANG, ta có:

AG = GD (gt)

∠(DGF) = ∠(AGN) (đối đỉnh)

GF = GN (chứng minh trên)

Suy ra: ΔDFG = ΔANG (c.g.c) ⇒ DF = AN

Mà AN = 1/2 AC (gt)

Suy ra: DF = 1/2 AC (5)

Mặt khác: BD = CG (chứng minh trên)

ED = 1/2 BD (vì E là trung điểm BD)

GP = 1/2 CG (tính chất đường trung tuyến)

Suy ra: ED = GP

Lại có: ΔBMD = ΔCMG (chứng minh trên)

⇒ ∠(BDM) = ∠(CGM) hay ∠(EDG) = ∠(CGM)

(CGM) = (PGA) (đối đỉnh)

Suy ra: ∠(EDG) = ∠(PGA)

AG = GD (gt)

Suy ra: ΔPGA = ΔEDG (c.g.c) ⇒ GE = AP mà AP = 1/2 AB (gt)

Do đó: GE = 1/2 AB (6)

Từ (4), (5) và (6) suy ra các đường trung tuyến của ΔBGD bằng một nửa cạnh của ΔABC.

a) Gọi AM , BN , CP là các đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) . Ta có GD = AG = 2GM và GD = GM + MD nên GM = MD

\(\Delta BMD=\Delta CMG\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow BD=CG=\dfrac{2}{3}CP\) (1)

Ta có \(BG=\dfrac{2}{3}BN\) (2)

\(GD=AG=\dfrac{2}{3}AM\) (3)

Từ (1) , (2) , (3) suy ra các cạnh của \(\Delta BGD=\dfrac{2}{3}\) các đường trung truyến của \(\Delta ABC\)

b) Gọi CE , DF là các đường trung tuyến của \(\Delta BGD\) . Từ đây tự chứng minh \(BM=\dfrac{1}{2}BC;GE=\dfrac{1}{2}AB;DF=AN=\dfrac{1}{2}AC\)

a) gọi AM,BN ,CH lần lượt là trung tuyến của tam giác ABC xuất phát từ các đỉnh A;B;C

Ta có BG=2/3BN( BN LÀ TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC ABC)

Ta có AG=2/3AM

=>GM=1/2AG

mà AG = GD

=> GM =MD= 1/2 GD

Xét tam giác GMC và DMB có :

GM=MD(cmt)

góc GMC=DMB (đối đỉnh)

BM=MC(gt)

=> 2 tam giác đó bằng nhau (c-g-c)

=>GC=BD (2-c-t-ứ) mà GC=2/3HC( vì CH là trung tuyến của tam giác ABC )=> BD=2/3CH

Ta có AG=2/3AM( AM là trung tuyến của tam giác ABC)

Mà AG=GD

=> GD=2/3AM