Hãy nhắc lại định lí côsin trong tam giác. Từ các hệ thức này hãy tính cosA, cosB và cosC theo các cạnh của tam giác ?
Hãy nhắc lại định lí côsin trong tam giác. Từ các hệ thức này hãy tính cosA, cosB, cosC theo các cạnh của tam giác.
Định lí Cô sin : Tam giác ABC có AB = c, BC = a, AC = c thì ta có :
Các góc nhọn của tam giác ABC thỏa mãn: \(cosA+cosB+cosC=\sqrt{cosA.cosB}+\sqrt{cosB.cosC}+\sqrt{cosC+cosA}\)CM tam giác ABC đều
Giả thiết của dề bài chưa đúng, mình sửa lại thành \(cosA+cosB+cosC=\sqrt{cosA.cosB}+\sqrt{cosB.cosC}+\sqrt{cosC.cosA}\)
Đặt \(a=\sqrt{cosA},b=\sqrt{cosB},c=\sqrt{cosC}\)
Suy từ giả thiết :
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a,b,c>0\end{cases}}\)
Vậy ta có \(\sqrt{cosA}=\sqrt{cosB}=\sqrt{cosC}\Rightarrow\hept{\begin{cases}cosA=cosB=cosC\\\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) là tam giác đều.
Nhiệm vụ 1: Học thuộc định lý, viết 4 hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
Nhiệm vụ 2: Hãy đặt ra một bài toán cho biết cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông, yêu cầu tính các cạnh và góc còn lại của tam giác vuông ấy.
Nhiệm vụ 3: Hãy đặt ra một bài toán cho biết 2 cạnh của tam giác vuông, yêu cầu tính các cạnh và góc còn lại của tam giác vuông ấy. Nhiệm vụ 4: Tìm hiểu thế nào là giải tam giác vuông?
Từ định lí cosin hãy viết các công thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.
Định lí cosin: Trong tam giác ABC
\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - \,2b\,c.\cos A\quad (1)\\{b^2} = {a^2} + {c^2} - \,2a\,c.\cos B\quad (2)\\{c^2} = {b^2} + {a^2} - \,2ab.\cos C\quad (3)\end{array}\)
Ta có \((1) \Leftrightarrow 2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - {a^2}\, \Leftrightarrow \cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}\,}}{{2b\,c}}.\)
Tương tự từ (2) và (3) ta suy ra \(\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}\,}}{{2a\,c}}\); \(\cos C = \frac{{{b^2} + {a^2} - {c^2}\,}}{{2b\,a}}\)
Tìm tính chất của tam giác ABC thỏa:
sinA+sinB+sinC=1-cosA+cosB+cosC
TL:
sinA+sinB+sinC=1-cosA+cosB+cosC => Tam giác ABC Vuông tại A
Vế trái = sinA + sinB + sinC
= 2sin(A + B)/2.cos(A - B)/2 + 2sinC/2.cosC/2
= 2cosC/2.cos(A - B)/2 + 2sinC/2.cosC/2
= 2cosC/2[cos(A - B)/2 + sinC/2]
=2.cosC/2.[cos(A - B)/2 + cos(A + B)/2]
= 4.cosC/2.cosB/2.cosA/2
Vế phải = 1 - cosA + cosB + cosC
= 2sin²A/2 + 2cos(B + C)/2.cos(B - C)/2
= 2.sinA/2[sinA/2 + cos(B - C)/2] (vì cos(B + C)/2 = sinA/2)
= 2.sinA/2[cos(B + C)/2 + cos(B - C)/2
= 4.sinA/2.cosB/2.cosC/2
Vậy sinA + sinB + sinC = 1 - cosA + cosB + cosC
<=> cosA/2.cosB/2.cosC/2 = sinA/2.cosB/2.cosC/2
<=> cosB/2.cosC/2(sinA/2 - cosA/2) = 0
mà cosB/2 ≠ 0 và cosC/2 ≠ 0
=> sinA/2 = cosA/2
<=> A/2 = 45o
<=> A = 90o
tam giác ABC vuông tại A
cho tam giác ABC nhọn. Chứng mnh rằng cosA+cosB+cosC=3/2 khi và chỉ khi tam giác ABC đều
Ta chứng minh chiều nghịch:
Khi tam giác ABC đều, góc A=gócB=gócC=60*
Khi đó cosA+cosB+cosC=3/2(đpcm)
Ta chứng minh chiều thuận
Ta chứng minh cosA+cosB+cosC≤3/2
Thật vậy:
Mà theo gt, cosA+cosB+cosC=3/2
nên ta có tam giác ABC đều(đpcm)
vẽ AD,BE, CF là các đường cao của tam giác ABC
\(\cos A=\sqrt{\cos BAE\cdot\cos CAF}=\sqrt{\frac{AE}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}}=\sqrt{\frac{AF}{AB}\cdot\frac{AE}{AC}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{AF}{AB}+\frac{AE}{AC}\right)\)
ta có \(\cos A\le\frac{1}{2}\left(\frac{AF}{AB}+\frac{AE}{AC}\right)\left(1\right)\)
tương tự \(\cos B\le\frac{1}{2}\left(\frac{BF}{AB}+\frac{BD}{BC}\right)\left(2\right);\cos C\le\frac{1}{2}\left(\frac{CD}{BC}+\frac{CE}{AC}\right)\left(3\right)\)
do đó \(\cos A+\cos B+\cos C\le\frac{1}{2}\left(\frac{AF}{AB}+\frac{AE}{AC}+\frac{BF}{AB}+\frac{BD}{BC}+\frac{CD}{BC}+\frac{CE}{AC}\right)\)
\(\Rightarrow\cos A+\cos B+\cos C\le\frac{1}{2}\left(\frac{AF}{AB}+\frac{BF}{AB}+\frac{AE}{AC}+\frac{CE}{AC}+\frac{BD}{BC}+\frac{CD}{BC}\right)\)
\(\Rightarrow\cos A+\cos B+\cos C\le\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{AF}{AB}=\frac{AE}{AC}\\\frac{BF}{AB}=\frac{BD}{BC}\\\frac{CD}{BC}=\frac{CE}{AC}\end{cases}}\Leftrightarrow AB=AC=BC\)
do vậy cosA+cosB+cosC=3/2 <=> AB=AC=BC <=> tam giác ABC đều
Cách khác khỏi phải dùng hình học :v
\(A=\cos A+\cos B+\cos C\)
\(=\left(\cos A+\cos B\right)\cdot1+\sin A\cdot\sin B-\cos A\cdot\cos B\)
\(\le\frac{1}{2}\left[\left(\cos A+\cos B\right)^2+1\right]+\frac{1}{2}\left(\sin^2A+\sin^2B\right)-\cos A\cdot\cos B\)
\(=\frac{1}{2}\left(\cos^2A+\sin^2A+\cos^2B+\sin^2B\right)+\frac{1}{2}\)
\(=\frac{3}{2}\)
ez Problem :v
Cho tam giác ABC có dướng phân giác AD, đường cao CH và đường trung tuyến BM giao nhau tại I. Vẽ MN song song với AB ( N thuộc HC). Tính tỉ số cosB/cosA theo các cạnh của tam giác ABC
a)Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB=4cm; BC=5cm, Tonhs cosC+TanB
b) Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB=5cm,BC=10cm. Tính sinC và số đo góc B
c) Cho tam giác ABC vuông tại A, biết cosB=8cm. hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C. E c.ơn ạ!
Câu a) với b) tính cos, tan, sin là tính góc hay cạnh vậy cậu?
a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại `A`
Ta có: \(BC^2=AB^2+AC^2\) (đl Pytago)
\(\Rightarrow5^2=4^2+AC^2\\ \Rightarrow AC^2=5^2-4^2\\ \Rightarrow AC^2=25-16=9\\ \Rightarrow AC=\sqrt{9}=3cm\)
Vậy: \(AC=3cm\)
Ta có: \(CosC=\dfrac{AC}{BC}\left(tslg\right)\)
\(\Rightarrow CosC=\dfrac{3}{5}\\ \Rightarrow CosC\approx53^o\)
Vậy: Góc C khoảng \(53^o\)
Ta có: \(TanB=\dfrac{AC}{AB}\left(tslg\right)\)
\(\Rightarrow TanB=\dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow TanB\approx37^o\)
Vậy: Góc B khoảng \(37^o\)
_
b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại `A`
Ta có: \(BC^2=AB^2+AC^2\) (đl Pytago)
\(\Rightarrow10^2=5^2+AC^2\\ \Rightarrow AC^2=10^2-5^2\\\Rightarrow AC^2=100-25=75\\ \Rightarrow AC=\sqrt{75}=5\sqrt{3}cm\)
Vậy: \(AC=5\sqrt{3}cm\)
Ta có: \(SinC=\dfrac{AB}{BC}\left(tslg\right)\)
\(\Rightarrow SinC=\dfrac{5}{10}\\ \Rightarrow30^o\)
Vậy: Góc C là \(30^o\)
Ta có: \(SinB=\dfrac{AC}{BC}\left(tslg\right)\)
\(\Rightarrow SinB=\dfrac{5\sqrt{3}}{10}\\ \Rightarrow SinB=60^o\)
Vậy: Góc B là \(60^o\).
cho tam giác ABC. Gọi AA' ;BB' ; CC' là các đường cao
a. Chứng minh tam giác ABC đồng dạng Tam giác AB'C'
b. Chứng minh AB' . BC' . CA' = AB . BC . CA . cosA . cosB .cosC
c. cho góc A =30 độ ; AB= 4cm; AC= 8cm tính diện tích tam giác ABC