a^2k+1+b^2k+1=(a+b)(a^2k-a^2k-1b+2^2k-2.b²-...+a²b^2k-2-ab^2k-1+b^2k) chia hết cho a+b

=>đpcm

Lời giải:

Theo đề bài ta có:

\(\frac{2ab+1}{2b}=\frac{2bc+1}{c}=\frac{ac+1}{a}\Leftrightarrow a+\frac{1}{2b}=2b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-2b=\frac{1}{c}-\frac{1}{2b}=\frac{2b-c}{2bc}\\ a-c=\frac{1}{a}-\frac{1}{2b}=\frac{2b-a}{2ab}\\ 2b-c=\frac{1}{a}-\frac{1}{c}=\frac{c-a}{ac}\end{matrix}\right.\)

Nhân theo vế:
\((a-2b)(a-c)(2b-c)=\frac{(2b-c)(2b-a)(c-a)}{4a^2b^2c^2}=\frac{(2b-c)(a-2b)(a-c)}{4a^2b^2c^2}\)

\(\Leftrightarrow (a-2b)(a-c)(2b-c)\left[1-\frac{1}{4a^2b^2c^2}\right]=0\)

$\Rightarrow (a-2b)(a-c)(2b-c)=0$ hoặc $1-\frac{1}{4a^2b^2c^2}=0$

TH1: $(a-2b)(a-c)(2b-c)=0$\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2b\\ a=c\\ 2b=c\end{matrix}\right.\)

+Nếu $a=2b$ thì $\frac{2b-c}{2bc}=a-2b=0\Rightarrow 2b-c=0\Rightarrow 2b=c$

$\Rightarrow a=2b=c$

+ Nếu $a=c, 2b=c$: hoàn toàn tương tự suy ra $a=2b=c$

TH2: $1-\frac{1}{4a^2b^2c^2}=0\Rightarrow 4a^2b^2c^2=1$

Vậy ta có đpcm.

a=1.....1(2n số 1)=1....1(n số 1).10ⁿ +1...1(n số 1)
b=1...1(n+1 số 1)=1...1(n số 1).10+1
c=6...6(n số 6)=6.1...1(n số1)
Đặt m=1...1(n số 1) => 10ⁿ  =9m+1
a+b+c+8=m.(9m+2)+10m+1+6m+8=9m^2+18m+9=(3m+3)^2 là số chính phương

ta có: \(\frac{1}{c}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{2}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{c}=\frac{b+a}{ab}\)

\(\Rightarrow2ab=c\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow ab+ab=ac+bc\)

\(\Rightarrow ac-ab=ab-bc\)

\(\Rightarrow a\left(c-b\right)=b\left(a-c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{a-c}{c-b}\)

tíc mình nha

Lời giải:

Đề thiếu điều kiện $a< b$ nữa bạn nhé.

Xét hiệu \(\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}=\frac{a(b+c)-b(a+c)}{b(b+c)}=\frac{c(a-b)}{b(b+c)}<0\) do $a,b,c$ là số tự nhiên khác 0, $a-b<0$ với $a<b$

$\Rightarrow \frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}$

Vì  \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ac}{abc}=0\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\)

Ta có: 

\(a+b+c=1\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=1\left(đpcm\right)\)