1/2²+1/3²+1/4²+......+1/2015²+1/2016²  <  1/1.2+1/2.3+1/3.4+.....+1/2014.2015+1/2015.2016

Mà:  1/1.2+1/2.3+1/3.4+.....+1/2014.2015+1/2015.2016

=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.......+1/2014-1/2015+1/2015-1/2016

=1-1/2016

=2016/2016-1/2016

=2015/2016 <1

Nên 1/2²+1/3²+1/4²+......+1/2015²+1/2016²  <  1

3M-M=1+1/3+1/3^2+ .............+1/3^2014-2015/3^2015

2M.3=3+1+1/3+.............+1/3^2013-1/3^2014

6M-2M=3-2/3^2014+2015/3^2015

TỰ LÀM NỐT

\(A=1+2015+2015^2+....+2015^9\)

\(2015A=2015+2015^2+2015^3+....+2015^{10}\)

\(2015A-A=\left(2015+2015^2+2015^3+...+2015^{10}\right)-\left(1+2015+2015^2+....+2015^9\right)\)

\(2014A=2015^{10}-1\)

=>\(2014A+1=2015^{10}-1+1=2015^{10}=...5\) (vì những số tự nhiên có chữ số tận cùng=5 khi nâng lên lũy thừa bất kì (khác 0) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó)

Mà chữ số tận cùng của 1 SCP chỉ có thể E {0;1;4;5;6;9}

=>2014A+1 là 1 SCP (đpcm)

Với mọi số nguyên dương n ta có:

\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}<\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\frac{2}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}}\). Do đó ta có:

\(A<\frac{2}{\sqrt{1}}-\frac{2}{\sqrt{2}}+\frac{2}{\sqrt{2}}-\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{4}}+...+\frac{2}{\sqrt{2015}}-\frac{2}{\sqrt{2016}}=2-\frac{2}{\sqrt{2016}}<2\)

Vậy A < 2.