Ta có abcd = 1000a + 100b + 10c + d

                  = 1000a + 96b + 8c + (d + 2c + 4b)

Ta thấy 1000a chia hết cho 8, 96a chia hết cho 8, 8c chia hết cho 8, d+2c+4b chia hết cho 8 (giả thuyết)

Vậy abcd chia hết cho 8 (đpcm)

Ta có: abcd = 1000a + 100b + 10c + d

          abcd = 1000a + 96b + 4b + 8c + 2c + d

          abcd = 1000a + 96b + 8c + ( 4b + 2c + d )

Ta thấy: 1000a = 8.125.a chia hết cho 8

             96b = 8.12.b chia hết cho 8

             8c chia hết cho 8

             ( 4b + 2c + d ) chia hết cho 8 ( gt )

=> 100a + 96b + 8c + ( 4b + 2c + d ) chia hết cho 8

=> abcd chia hết cho 8

=> Đpcm

ĐPCM là gì vậy

Lời giải:
a. Vì $p$ nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ không chia hết cho $3$.

Nếu $p$ chia $3$ dư $2$, $p$ có dạng $p=3k+2$. 

$p+4=3k+6\vdots 3$. Mà $p+4>3$ nên không là số nguyên tố (trái đề)

Do đó $p$ chia $3$ dư $1$

Khi đó: $p+8=3k+1+8=3(k+3)$ chia hết cho $3$. Mà $p+8>3$ nên $p+8$ là hợp số (đpcm)

b.

$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$

$=1000a+96b+8c+(d+2c+4b)$

$=8(125a+12b+c)+(d+2c+4b)$

Vì $8(125a+12b+c)\vdots 8; d+2c+4b\vdots 8$

$\Rightarrow \overline{abcd}\vdots 8$

Ta có đpcm.

CMR: (d+2c+4b)chia hết cho 8 thì abcd chia hết cho 8

Ta có: abcd = a. 1000 + b. 100 + c.10 + d

                  = 1000a + 96b + 8c + (4b + 2c + d)

Dễ thấy 1000 a ; 96b và 8c đều chia hết cho 8 => Nếu (d + 2c + 4b) chia hết cho 8 thì abcd chia hết cho 8 (ĐPCM)

Chuẩn men !!!

Bài 3: 

a) Ta có: \(C=2+2^2+2^3+...+2^{99}+2^{100}\)

\(=\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+\left(2^6+2^7+2^8+2^9+2^{10}\right)+...+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)

\(=2\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+2^6\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)+...+2^{96}\left(1+2+2^2+2^3+2^4\right)\)

\(=31\cdot\left(2+2^6+...+2^{96}\right)⋮31\)(đpcm)

Bài 1: 

Ta có: \(A=3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(=3^n\cdot9-2^n\cdot4+3^n-2^n\)

\(=3^n\left(9+1\right)-2^n\left(4+1\right)\)

\(=10\left(3^n-2^{n-1}\right)⋮10\)

Vậy: A có chữ số tận cùng là 0

Bài 2: 

Ta có: \(abcd=1000\cdot a+100\cdot b+10\cdot c+d\)

\(\Leftrightarrow abcd=1000\cdot a+96\cdot b+8c+2c+4b+d\)

\(\Leftrightarrow abcd=8\left(125a+12b+c\right)+\left(2c+4b+d\right)\)

mà \(8\left(125a+12b+c\right)⋮8\)

và \(2c+4b+d⋮8\)

nên \(abcd⋮8\)(đpcm)

Ta có:

abcd = 1000a + 100b + 10c + d = 1000a + 96b + 4b + 8c + 2c + d = (1000a + 96b + 8c) + (d + 2c + 4b)

Mà d + 2c + 4b chia hết cho 8 theo đề bài

Và 1000a + 96b + 8c cũng chia hết cho 8

=> abcd chia hết cho 8