Đặt \(x=a+\sqrt{15};y=\dfrac{1}{a}-\sqrt{15}\left(x,y\in Z\right)\)

Ta có: \(y=\dfrac{1}{x-\sqrt{15}}-\sqrt{15}\Leftrightarrow xy-16=\left(y+x\right)\sqrt{15}\)

Nếu y=x thì VP là số vô tỉ còn VT là số nguyên ( vô lý)

=> x=y

=> xy-16=0 <=> x=y=\(\pm\)4 .

Thay vào tìm đc \(\left[{}\begin{matrix}a=4-\sqrt{15}\\a=-4-\sqrt{15}\end{matrix}\right.\)

Đặt 

\(\hept{\begin{cases}a+\sqrt{15}=x\\\frac{1}{a}-\sqrt{15}=y\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=x-\sqrt{15}\\\frac{1}{x-\sqrt{15}}-\sqrt{15}=y\left(2\right)\end{cases}}}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow1-\sqrt{15}x+15=xy-\sqrt{15}y\)

\(\Leftrightarrow16-xy=\sqrt{15}\left(x-y\right)\)

Ta nhận thấy vế trái là số nguyên còn vế phải là số vô tỷ nên để 2 vế bằng nhau thì (x - y) = 0, hay x = y

\(\Leftrightarrow a+\sqrt{15}=\frac{1}{a}-\sqrt{15}\)

\(\Leftrightarrow a^2+2\sqrt{15}a-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+\sqrt{15}\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=4-\sqrt{15}\\a=-4-\sqrt{15}\end{cases}}\)

1. Ta có: A = \(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Để A \(\in\)Z <=> \(4⋮\sqrt{x}-3\) <=> \(\sqrt{x}-3\inƯ\left(4\right)=\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

Lập bảng:

Vậy ....

2. Ta có: B = \(\frac{x^2+15}{x^2+3}=\frac{\left(x^2+3\right)+12}{x^2+3}=1+\frac{12}{x^2+3}\)

Do x² + 3 \(\ge\)3  \(\forall\)x => \(\frac{12}{x^2+3}\le4\forall x\)

=> \(1+\frac{12}{x^2+3}\le5\forall x\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 0

Vậy Max B = 5 khi x = 0

a) ĐKXĐ: a\(\ge\)0, a\(\ne\)1

A=(\(\dfrac{\sqrt{a}+2}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}-\dfrac{\sqrt{a}-2}{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}\)).\(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\)

A=\(\dfrac{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)-\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2\left(\sqrt{a}-1\right)}\).\(\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\)

A=\(\dfrac{2\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-1\right)}.\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}\)=\(\dfrac{2}{a-1}\)

b) Để A\(\in\)Z\(\Rightarrow\)x-1\(\in\) Ư(2)=\(\left\{-1,1,-2,2\right\}\)

vì x\(\ge\)0,x\(\ne\)1 nên x\(\in\)\(\left\{-1,0,2,3\right\}\)

Q= \(\frac{2\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)+\(\frac{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)= \(\frac{2\sqrt{x}-9-\left(x-9\right)+2x-3\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)=\(\frac{x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)=\(\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\)=\(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)

b) Q <1 <=> \(\frac{\sqrt{x}-3+4}{\sqrt{x}-3}< 1< =>1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)<1 <=> \(\frac{4}{\sqrt{x}-3}< 0\) <=> \(\sqrt{x}-3< 0< =>\sqrt{x}< 3\)<=> \(0\le\)x< 9

c) Q = 1 \(+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\) là số nguyên khi 4 chia hết cho\(\sqrt{x}-3\) <=> \(\sqrt{x}-3=1;\sqrt{x}-3=-1;\sqrt{x}-3=2\);\(\sqrt{x}-3=-2;\sqrt{x}-3=4;\sqrt{x}-3=-4\)

<=> x= 16; x = 4; x = 25; x = 1 ; x = 49

Bài làm của bạn Mạnh có hai lỗi:

+) ĐKXĐ: \(\hept{\begin{cases}x-5\sqrt{x}+6\ne0;\sqrt{x}-2\ne0;3-\sqrt{x}\ne0\\x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne4;9\end{cases}}\)

+) Vì ko có điều kiện nên câu c chưa loại nghiệm. x = 4 loại nhé