Lời giải:

Sử dụng BĐT sau:

Cho $a,b$ thực. Khi đó $|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu "=" xảy ra khi $ab\geq 0$. Áp dụng vào bài toán:

$|x-2018|+|x-2022|=|x-2018|+|2022-x|\geq |x-2018+2022-x|=4$

$|x-2020|\geq 0$ (theo tính chất trị tuyệt đối)

$\Rightarrow A\geq 4+0=4$

Vậy GTNN của $A$ là $4$. Giá trị này đạt được khi $(x-2018)(2022-x)\geq 0$ và $x-2020=0$

Hay khi $x=2020$

@Vũ Văn Tuần:

Để biết vì sao $|a|+|b|\geq |a+b|$ đạt dấu "=" khi $ab\geq 0$ thì bạn đi chứng minh BĐT này thôi.

Xét các TH sau:

TH1: Ít nhất 1 trong 2 số bằng 0. Không mất tính tổng quát giả sử $a=0$. Khi đó: $|a|+|b|=|b|=|b+0|=|a+b|$

TH2: $a,b$ đều khác 0. Xét các TH nhỏ hơn:

TH2.1: $a,b$ cùng dương kéo theo $a+b$ dương. Khi đó:
$|a|=a; |b|=b; |a+b|=a+b$

$\Rightarrow |a|+|b|=|a+b|$

TH2.2: $a,b$ cùng âm thì kéo theo $a+b<0$ Khi đó:
$|a|=-a; |b|=-b; |a+b|=-(a+b)$
$\Rightarrow |a|+|b|=-a+(-b)=-(a+b)=|a+b|$

TH2.3: $a,b$ khác dấu. Không mất tính tổng quát giả sử $a$ dương $b$ âm.

$\Rightarrow |a|=a; |b|=-b$

Nếu $a+b\geq 0$ thì $|a+b|=a+b$

$\Rightarrow |a|+|b|-|a+b|=a+(-b)-(a+b)=-2b>0$ do $b<0$

$\Rightarrow |a|+|b|> |a+b|$

Nếu $a+b<0$ thì $|a+b|=-(a+b)$

$\Rightarrow |a|+|b|-|a+b|=a+(-b)--(a+b)=a+(-b)+a+b=2a> 0$ do $a>0$

$\Rightarrow |a|+|b|> |a+b|$ 

Từ các TH đã xét ta suy ra $|a|+|b|\geq |a+b|$

Dấu "=" xảy ra khi $a,b$ cùng dương, $a,b$ cùng âm hoặc ít nhất 1 trong 2 số $a,b$ bằng $0$

Tức là $ab\geq 0$

Lời giải:
Áp dụng BĐT dạng $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:
$|x-2020|+|x-2024|=|x-2020|+|2024-x|\geq |x-2020+2024-x|=4$

$|x-2022|\geq 0$ (theo tính chất trị tuyệt đối)

$\Rightarrow |x-2020|+|x-2024|+|x-2022|\geq 4+0=4$

$\Rightarrow P\geq 4$

Vậy $P_{\min}=4$. Giá trị này đạt được khi $(x-2020)(2024-x)\geq 0$ và $x-2022=0$

Hay $x=2022$

Ta có \(\left(x+1\right)^{2022}\ge0\forall x\Rightarrow A=2020-\left(x+1\right)^{2022}\le2020\forall x\)

Dấu "=" xảy ra <=> x + 1 = 0

=> x = -1

Vậy GTLN của A là 2020 khi x = -1

b) Để C đạt GTLN 

=> \(\frac{5}{\left(x+3\right)^2}\)lớn nhất

=> (x - 3)² nhỏ nhất 

=> (x - 3)² = 1

=> \(\orbr{\begin{cases}x-3=1\\x-3=-1\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=4\\x=2\end{cases}}\)

Nếu x = 4  => C = 6

Vậy GTLN của C là 6 khi x = 4 hoặc x = 2

A = 2020 - ( x + 1 )²⁰²²

-( x + 1 )²⁰²² ≤ 0 ∀ x => 2020 - ( x + 1 )² ≤ 2020 

Đẳng thức xảy ra <=> x + 1 = 0 => x = -1

=> MaxA = 2020 <=> x =  -1

C = \(\frac{5}{\left(x-3\right)^2+1\left(^∗\right)}\)

Để C đạt GTLN => (*) = ( x - 3 )² + 1 đạt GTNN

( x - 3 )² ≥ 0 ∀ x => ( x - 3 )² + 1 ≥ 1 

=> Min(*) = 1 <=> x - 3 = 0 => x = 3

=> MaxC = 5 <=> x = 3

Ta có: M = |x - 2018| + |x - 2019| + 2020

       M = |x - 2018| + |2019 - x| + 2020 \(\ge\)|x - 2018  + 2019 - x| + 2020 = |1| + 2020 = 2021

Dấu "=" xảy ra khi: x - 2018 + x - 2019 = 0

      <=> 2x - 4037 = 0

      <=> 2x = 4037

     <=> x = 2018,5

Vậy Min của M = 2021 tại x = 2018,5

Sửa lại một đoạn:

Dấu "=" xảy ra khi : (x - 2018)(2019 - x) = 0

      <=> 2018 \(\le\)x \(\le\)2019

A