Cô làm cách lớp 8 sợ bạn ấy không hiểu :) Cô nên cho bài toán phụ chứng minh. Ngoài ra em có một cách khác ( của lớp 7 ), bạn sẽ hiểu hơn.

Cô trình bày theo cách của lớp 8:

Gọi I, J là trung điểm của DE và MN. Theo tính chất đường trung bình của hình thang, ta có : IJ // DM // EN và 2IJ = DM + EN.

Do AD = BE; ID = IE nên I là trung điểm AB. Lại có IJ // BC nên IJ là đường trung bình tam giác ABC. Vậy 2IJ = BC. 

Từ đó suy ra BC = DM + EN.

Khó quá đấy !

Kẻ NF // AB (F thuộc BC)

Xét tam giác BEF và tam giác NFE có:

BEF = NFE (2 góc so le trong, NF // BE)

FE chung

EFB = FEN (2 góc so le trong, EN // FB)

=> Tam giác BEF = Tam giác NFE (g.c.g)

=> BE = NF (2 cạnh tương ứng)

mà BE = AD (gt)

=> AD = NF

Xét tam giác ADM và tam giác NFC có:

MDA = CFN (2 góc đồng vị, DM // FC)

DA = FN (chứng minh trên)

DAM = FNC (2 góc đồng vị, AD // NF)

=> Tam giác ADM = Tam giác NFC (g.c.g)

=> DM = FC (2 cạnh tương ứng)

mà EN = BF (tam giác BEF = tam giác NFE)

=> DM + EN = BF + FC = BC

qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại K .

Vì EN song song với BK; NK song song với EB nên EB=NK;EN=BK (tính chất đoạn chắn)

nên NK=AD. Vì DM song song với BC nên góc( từ sau góc mình kí hiệu là >) DMA = >ACB . Vì NK song song với AB nên >A= >KNC \(\Rightarrow\) >B=>NKC Do đó ΔADM=ΔNKC (g.c.g). nên DM=KC

Suy ra DM+EN=BK+CK=BC(dpcm)

Từ N kẻ đường thẳng song song vói AB cắt BC tại K. Nối EK.

Xét ΔBEK và Δ NKE, ta có:

∠(EKB) =∠(KEN) (so le trong vì EN // BC)

EK cạnh chung

∠(BEK) =∠(NKE) (so le trong vì NK // AB))

Suy ra: Δ BEK = Δ NKE(g.c.g)

Suy ra: BE = NK (hai cạnh tương ứng)

EN = BK (hai cạnh tương ứng)

Xét Δ ADM và Δ NKC, ta có:

∠A =∠(KNC) (đồng vị vì NK // AB)

AD = NK ( vì cùng bằng BE)

∠(ADM) =∠(NKC) (vì cùng bằng góc B)

Suy ra: Δ ADM = Δ NKC(g.c.g)

Suy ra: DM = KC (hai cạnh tương ứng)

Mà BC = BK + KC. Suy ra: BC = EN + DM

Từ N kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại K. Nối EK.

Xét ∆BEK và ∆NKE, ta có:

(so le trong vì EN // BC)

EK cạnh chung

(so le trong vì NK // AB)

Suy ra: ∆BEK = ∆NKE (g.c.g)

Suy ra: BE = NK (hai cạnh tương ứng)

EN = BK (hai cạnh tương ứng)

Xét ∆ADM và ∆NKC, ta có:

(đồng vị vì NK // AB)

AD = NK (vì cùng bằng BE)

(vì cùng bằng )

Suy ra: ∆ADM = ∆NKC (c.g.c)

=>DM = KC (hai cạnh tương ứng)

Mà BC = BK + KC. Suy ra: BC = EN + DM