Ta có:  x + 1 3  = 3x + m (1)

⇔  x + 1 3  − 3x – 4 = m – 4

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đường :

y = g(x) =  x + 1 3  − 3x – 4 (C’) và y = m – 4 ( d 1 )

Từ đồ thị, ta suy ra:

    +) m > 5 hoặc m < 1: phương trình (1) có một nghiệm.

    +) m = 5 hoặc m = 1 : phương trình (1) có hai nghiệm.

    +) 1 < m < 5 , phương trình (1) có ba nghiệm.

Ta có:  x 4 - 6 x 2 + 3 = m

Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d) y = m/2.

Từ đồ thị (C) nhận thấy :

+ m/2 < - 3 ⇔ m < -6

⇒ đường thẳng (d) không cắt đồ thị (C)

⇒ Phương trình vô nghiệm.

+ m/2 = -3 ⇔ m = -6

⇒ đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm cực tiểu

⇒ Phương trình có 2 nghiệm.

+ -3 < m/2 < 3/2 ⇔ -6 < m < 3

⇒ đường thẳng (d) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt

⇒ Phương trình có 4 nghiệm.

+ m/2 = 3/2 ⇔ m = 3

⇒ đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm

⇒ phương trình có 3 nghiệm.

+ m/2 > 3/2 ⇔ m > 3

⇒ đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm

⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Vậy:

+) m < - 6 thì phương trình vô nghiệm.

+) m = - 6 hoặc m > 3 thì PT có 2 nghiệm.

+) m = 3 thì PT có 3 nghiệm.

+) – 6 < m < 3 thì PT có 4 nghiệm.

Phương trình tương đương

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x+2=\left(m+1\right)\left(x-2\right)\\x\ne2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1\right)x+2=\left(m+1\right)x-2m-2\\x\ne2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-1-m-1\right)x=-2m-4\\x\ne2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}-2x=-2m-4\\x\ne2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\x\ne2\end{matrix}\right.\)

Nếu m = 0 thì phương trình vô nghiệm

Nếu m ≠ 0 thì S = {m + 2}

 Điều kiện của phương trình là m ≠ 1/2. Khi đó ta có

Nếu m ≠ -1/5 thì phương trình có nghiệm 

    Giá trị này là nghiệm của phương trình đã cho khi

Nếu m = -1/5 phương trình cuối vô nghiệm.

    Kết luận.

    Với m = -1/5 hoặc m = -3 phương trình đã cho vô nghiệm.

    Với m ≠ -1/5 và m ≠ -3 nghiệm của phương trình đã cho là 

m(x – 2) = 3x + 1

⇔ mx – 2m = 3x + 1

⇔ mx – 3x = 1 + 2m

⇔ (m – 3).x = 1 + 2m (1)

     + Xét m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3, phương trình (1) có nghiệm duy nhất 

     + Xét m – 3 = 0 ⇔ m = 3, pt (1) ⇔ 0x = 7. Phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

+ với m = 3, phương trình vô nghiệm

+ với m ≠ 3, phương trình có nghiệm duy nhất