Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau : \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}< \sqrt{\frac{a+b}{2}}\)

\(\left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\right)^2< \frac{a+b}{2}\Leftrightarrow\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{4}< \frac{a+b}{2}\Leftrightarrow a+b+2\sqrt{ab}< 2\left(a+b\right)\Leftrightarrow-\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)< 0\Leftrightarrow-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2< 0\)(luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

Áp dụng : \(\frac{\sqrt{1998}+\sqrt{2000}}{2}< \sqrt{\frac{1998+2000}{2}}=\sqrt{1999}\)

\(\Rightarrow\sqrt{1998}+\sqrt{2000}< 2.\sqrt{1999}\)

Phần chứng minh bất đẳng thức bạn ghi thêm điều kiện a,b > 0 nhé

ĐK:1\(\ge\)x\(\ge\)-1

+) Với x₁=x₂=...=x₂₀₀₀ 

Từ (1) suy ra x₁=x₂=...=x₂₀₀₀ =1/2000 (thay vào (2) thỏa mãn)

+) Với x₁<x₂<...<x₂₀₀₀ ( trường hợp còn lại chắc cũng giống vậy)

Từ (1) suy ra:

VT>2000.\(\sqrt{1+x_1}\)<=> \(\sqrt{\frac{2001}{2000}}\)>\(\sqrt{1+x_1}\)<=>x₁<1/2000(1)

Từ (2) suy ra:

VT<2000.\(\sqrt{1+x_1}\)<=>\(\sqrt{\frac{1999}{2000}}\)<\(\sqrt{1-x_1}\) <=>x₁>1/2000(2)

Từ (1) và (2) cho thấy x₁<x₂<...<x₂₀₀₀ không xảy ra 

Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x₁=x₂=...=x₂₀₀₀ =1/2000

Cảm ơn nhiều nha Lê Hồ Trọng Tín , cách giải rất hay . Mk có cách này, cũng gần tương tự(p/s nhà mk đã đủ gạch đá r nên k dám nhận nữa đâu ( v￣▽￣)   )

Điều kiện \(-1\le x_n\le1\) với mọi \(n=1,2,3,...,2000\)

Khi đó :

\( \left(1\right)\Leftrightarrow2000.2001=\left(\sqrt{1+x_1}+\sqrt{1+x_2}+...+\sqrt{1+x_{2000}}\right)^2\)

                     \(\le\left(1+1+...+1\right)\left(1+x_1+1+x_2+...+1+x_{2000}\right)\)( bất đẳng thức bunyakovsky)

                     \(=2000\left(2000+x_1+x_2+...+x_{2000}\right)\)

           \(\Leftrightarrow1\le x_1+x_2+...+x_{2000}\)

Khi đó :

\(\left(2\right)\Leftrightarrow2000.1999\le\left(1+1+...+1\right)\left(1+1+...+1-x_1-x_2-...-x_{2000}\right)\)

        \(\Leftrightarrow x_1+x_2+...+x_{2000}\le1\)

Do đó \(\hept{\begin{cases}1+x_1=1+x_2=...=1+x_{2000}\\1-x_1=1-x_2=...=1-x_{2000}\\x_1+x_2+...+x_{2000}=1\end{cases}\Leftrightarrow_{ }}x_1=x_2=...=x_{2000}=\frac{1}{2000}.\)

s hk có đề

xin lỗi bạn,mình mới lớp 6 nên ko làm đc.

Anh à, bài toán này em nghĩ anh nên đăng trên h thì sẽ được giải đáp tốt hơn đó. Xin lỗi, em mới học lớp 7.

mới lớp 6 ko biết

Hic... thông cảm đi, đây chưa học bn ạ, chứ giúp đc mk giúp òi 

hay

Ta có :

\(A=\dfrac{\left(\sqrt{2000}-\sqrt{1999}\right)\left(\sqrt{2000}+\sqrt{1999}\right)}{\left(\sqrt{2000}+\sqrt{1999}\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{2000}+\sqrt{1999}}\)

\(B=\dfrac{\left(\sqrt{2001}-\sqrt{2000}\right)\left(\sqrt{2001}+\sqrt{2000}\right)}{\left(\sqrt{2001}+\sqrt{2000}\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{2001}+\sqrt{2000}}\)

Do \(\sqrt{2000}+\sqrt{1999}< \sqrt{2001}+\sqrt{2000}\)

\(\Rightarrow A>B.\)

Bài làm:

Theo máy tính Vinacal 570ES PLUS II, ta có:

A>B

Đọc tiếp...