Lời giải:

Gọi giao điểm của AC,BDAC,BD là OO . Vì OO là giao điểm của 2 đường chéo hình bình hành nên OO là trung điểm mỗi đường.

Xét tam giác AMOAMO và CNOCNO có:

{AMOˆ=CNOˆ=900AOMˆ=CONˆ(đối đỉnh)⇒△AMO∼△CNO(g.g){AMO^=CNO^=900AOM^=CON^(đối đỉnh)⇒△AMO∼△CNO(g.g)

⇒MONO=AOCO=1⇒MO=NO⇒MONO=AOCO=1⇒MO=NO

Hay OO là trung điểm MNMN

Tương tự: △BOP∼△DOQ(g.g)⇒OPOQ=BODO=1△BOP∼△DOQ(g.g)⇒OPOQ=BODO=1

⇒OP=OQ⇒OP=OQ hay OO là trung điểm PQPQ

Xét tức giác MQNPMQNP có 2 đường chéo MN,PQMN,PQ cắt nhau tại trung điểm OO của mỗi đường nên MQNPMQNP là hình bình hành.

Câu 3: 

a: Xét ΔABC có

M là trung điểm của BA

N la trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình

=>MN//AC và MN=AC/2(1)

Xét ΔADC có

Q là trung điểm của AD

P là trung điểm của DC

Do đó: QP là đường trug bình

=>QP//AC và QP=AC/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN//PQ và MN=PQ

hay MNPQ là hình bình hành

b: Xét tứ giác MDPB có

MB//DP

MB=DP

Do đó: MDPB là hình bình hành

c: Xét ΔCDK có

P là trung điểm của CD

PL//DK

DO đó:L là trung điểm của CK

=>CL=LK(1)

Xét ΔALB có

Mlà trung điểm của AB

MK//LB

Do đó:K là trung điểm của AL

=>AK=KL(2)

Từ (1) và (2) suy ra AK=KL=LC

a: Xét ΔAHD vuông tại H và ΔCKB vuông tại K có 

AD=BC

\(\widehat{HDA}=\widehat{KBC}\)

Do đó: ΔAHD=ΔCKB

Suy ra: AH=CK

Xét tứ giác AHCK có 

AH//CK

AH=CK

Do đó: AHCK là hình bình hành

a) \(\widehat{FAD}=\widehat{BEC}=90^0;\widehat{DAF}=\widehat{ECB};AD=BC\)

\(\Rightarrow\)△ADF=△CBE (g-c-g) \(\Rightarrow DF=BE\)

DF//BE (cùng vuông góc với AC) \(\Rightarrow\)BEDF là hình bình hành.

b) \(CH.CD=CH.AB=S_{ABCD}=CK.CD=CK.BC\)

c) △ABE∼△ACH (g-g) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BE}{CH}\Rightarrow AB.CH=AC.BE\)

△BEC∼△CKA \(\Rightarrow\dfrac{BC}{CA}=\dfrac{EC}{AK}\Rightarrow BC.AK=AC.EC\)

\(AB.CH+BC.AK=AB.CH+AD.AK=AC.BE+AC.EC=AC.\left(BE+EC\right)=AC.AC=AC^2\)