cho x,y,z thỏa mãn x+2y+4z=12. Tìm GTLN của biểu thức P = \(\frac{2xy}{x+y}+\frac{8yz}{2y+4z}+\frac{4xz}{4z+x}\)
Chứng minh rằng: Cho x,y,z >0 thỏa x+2y+4z=12. Chứng minh : \(\frac{2xy}{x+2y}+\frac{8yz}{2y+4z}+\frac{4xz}{4z+x}\le6\)
cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+2z=3.Tìm Min của :
P= x2+y2+4z2+\(\frac{xy+2yz+2zx}{x^2y+2y^2z+4z^2x}\)
Cho các số x,y,z thỏa mãn x^2+2y^2+z^2-2xy-2y-4z+5=0.Tính giá trị biểu thức A=(x-1)^2020+(y-2)^2020+(z-3)^2020
x2 + 2y2 + z2 - 2xy - 2y - 4z + 5 = 0
<=> ( x2 - 2xy + y2 ) + ( y2 - 2y + 1 ) + ( z2 - 4z + 4 ) = 0
<=> ( x - y )2 + ( y - 1 )2 + ( z - 2 )2 = 0
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(y-1\right)^2\ge0\\\left(z-2\right)^2\ge0\end{cases}}\forall x;y;z\)=> ( x - y )2 + ( y - 1 )2 + ( z - 2 )2\(\ge\)0\(\forall\)x ; y ; z
Dấu "=" xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\\\left(z-2\right)^2=0\end{cases}}\)<=>\(\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=2\end{cases}}\)( 1 )
Thay ( 1 ) vào A , ta được :
\(A=\left(1-1\right)^{2020}+\left(1-2\right)^{2020}+\left(2-3\right)^{2020}=0+1+1=2\)
Vậy A = 2
Ta có: \(x^2+2y^2+z^2-2xy-2y-4z+5=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2y+1\right)+\left(z^2-4z+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-2\right)^2=0\)
Mà \(VT\ge0\left(\forall x,y,z\right)\) nên dấu "=" xảy ra khi:
\(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\\\left(z-2\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=2\end{cases}}\)
Cho x, y, z là các số dương thay đổi và thỏa mãn: \(xy+yx+zx=3xyz\). Tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\frac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}+\frac{11y+4z}{4y^2-yz+2z^2}+\frac{11z+4x}{4z^2-zx+2x^2}\)
Ta chứng minh:
\(\frac{11x+4y}{4x^2-xy+2y^2}\le\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng bài toán ta được:
\(P\le3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3.3=9\)
cho các số dương x,y,z tỉ lệ với 3,4,5. Tính giá trị của biểu thức
\(P=\frac{x+2y+3x}{2x+3y+4z}+\frac{2x+3y+4z}{3x+4y+5z}+\frac{3x+4y+5z}{4x+5y+6z}\)
Theo đề ta có: \(x:y:z=3:4:5\Rightarrow\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}\)
Đặt: \(\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=k\left(k\inℕ^∗\right)\)
Suy ra: \(x=3k;y=4k;z=5k\) Thay vào biểu thức P ta có:
\(P=\frac{3k+8k+15k}{6k+12k+20k}+\frac{6k+12k+20k}{9k+16k+25k}+\frac{9k+16k+25k}{12k+20k+30k}\)
\(P=\frac{26k}{38k}+\frac{38k}{50k}+\frac{50k}{62k}=\frac{13}{19}+\frac{19}{25}+\frac{25}{31}=\frac{33141}{14725}\)
Cho các số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn \(xz+2xy+yz=4z^2\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(x+y\right)^2+\left(x+y\right)z}+\frac{3}{2}\left(\frac{z}{x+y+z}\right)^2\)
Bài này thì chia 2 vế của giả thiết cho z2 ta thu được:
\(\frac{x}{z}+2.\frac{x}{z}.\frac{y}{z}+\frac{y}{z}=4\Leftrightarrow a+2ab+b=4\)
(đặt \(a=\frac{x}{z};b=\frac{y}{z}\)).Mà ta có: \(4=a+2ab+b\le a+b+\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\Rightarrow a+b\ge2\) Lại có:
\(P=\frac{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2}{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)^2+\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)}+\frac{3}{2}.\frac{1}{\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+1\right)^2}\) (chia lần lượt cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho z2)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)}+\frac{3}{2\left(a+b+1\right)^2}\).. Tiếp tục đặt \(t=a+b\ge2\) thu được:
\(P=\frac{t}{\left(t+1\right)}+\frac{3}{2\left(t+1\right)^2}=\frac{2t\left(t+1\right)+3}{2\left(t+1\right)^2}\)\(=\frac{2t^2+2t+3}{2\left(t+1\right)^2}-\frac{5}{6}+\frac{5}{6}\)
\(=\frac{2\left(t-2\right)^2}{12\left(t+1\right)^2}+\frac{5}{6}\ge\frac{5}{6}\)
Vậy...
P/s: check xem em có tính sai chỗ nào không:v
Đẳng thức xảy ra khi t = 2 tức là \(\hept{\begin{cases}t=2\\a=b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2\\a=b\end{cases}}\) giải ra tiếp nữa là ok mà?
cho ba số x, y, z thỏa mãn các điều kiện sau :
\(\frac{5z-6y}{4}=\frac{6x-4z}{5}=\frac{4y-5x}{6}\)và 3x - 2y + 5z= 96
Tìm x , y , z
Cho x,y,z thoả mãn:
x^2+2y^2+z^2-2xy-2y-4z+5=0
Tính giá trị của biểu thức:
P=(x-1)^2018+(y-1)^2019+(z-1)^2020
Ta có: x^2+2y^2+z^2-2xy-2y-4z+5=0
<=> ( x^2 - 2xy + y^2 ) + ( y^2 - 2y +1 ) + ( z^2 - 4z + 4 ) = 0
<=> ( x - y )^2 + ( y - 1 )^2 + ( z - 2 )^2 = 0
=> x - y = 0 và y - 1 = 0 và z - 2 = 0
<=> x = y = 1 và z = 4
Nên P = 1
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: 2xy + 6yz + 2xz = 7xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A=\dfrac{4xy}{x+2y}+\dfrac{9xz}{x+4z}+\dfrac{4yz}{y+z}\)
Đáp án: \(Min_A=7\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;1;1\right)\) Mình hỏi kết quả có đúng không?
Mình xin cảm ơn mọi người!