dcv_new 

\(\Sigma\frac{a^2}{pab+qca}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(p+q\right)\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3}{p+q}\)

2, ta có \(\sqrt{a}=\sqrt{\frac{a}{x}}\cdot\sqrt{x}\)

vậy ta được \(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=\left(\sqrt{\frac{a}{x}}\cdot\sqrt{x}+\sqrt{\frac{b}{y}}\cdot\sqrt{y}+\sqrt{\frac{c}{z}}\cdot\sqrt{z}\right)^2\le\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)\left(x+y+z\right)=S\)

dấu đẳng thức xảy ra khi \(\sqrt{x}:\sqrt{\frac{a}{x}}=\sqrt{y}:\sqrt{\frac{b}{y}}=\sqrt{z}:\sqrt{\frac{c}{z}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=1\\\frac{x}{\sqrt{a}}=\frac{y}{\sqrt{b}}=\frac{z}{\sqrt{c}}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};y=\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}};z=\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

vậy min (x+y+z)=\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2\)

À nhầm đề 1 tí . Sửa thành a, b, c , p , q  

Đánh máy nhanh quá nên nhầm xíu =)

Cho a, b, c mà bắt chứng minh x, y, z nên ko chứng minh đc là đúng òi:)

\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{\left(x-y\right)^4}{4xy\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)

a,b,c??? chỗ nào vậy bé ?? :)))

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn x+y+z=1 .Chứng minh

Chỗ e in đậm.

Bài 3 thì \(\le1\)

Bài 4 thì \(\ge\frac{3}{4}\) nhé

cau a la bdt vas

con cau b la van dung he qua cua bdt vas

\(\text{Ta có:}\)

\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\left(x,y,z>0\right)\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{3}{\frac{x+y+z}{3}}=\frac{9}{x+y+z}\)

\(\frac{y+z+5}{1+x}+\frac{z+x+5}{1+y}+\frac{x+y+5}{1+z}\)

\(=\frac{x+y+z+6}{1+x}+\frac{x+y+z+6}{1+y}+\frac{x+y+z+6}{1+z}-3\)

\(=\frac{24}{1+x}+\frac{24}{1+y}+\frac{24}{1+z}-3\ge\frac{51}{7}\Leftrightarrow\frac{24}{1+x}+\frac{24}{1+y}+\frac{24}{1+z}\ge\frac{72}{7}\)

\(24\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\ge24\left(\frac{9}{x+1+y+1+z+1}\right)\)

\(=24\left(\frac{9}{21}\right)=\frac{24.9}{21}=\frac{8.9}{7}=\frac{72}{7}\)

Bài toán đã được chứng minh

\(\text{Thêm dấu "=" xảy ra khi: x=y=z=6 nha! =((}\)

Thanks zZz Phan Gia Huy ZZz nha!!!😊😊😊

a) Chứng minh được BĐT \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)(*)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b

Áp dụng BĐT (*) vào bài toán ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{x+y+x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\\\frac{1}{x+2y+z}=\frac{1}{x+y+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\\\frac{1}{x+y+2z}=\frac{1}{x+y+z+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)

Tiếp tục áp dụng BĐT (*) ta có:

\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right);\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right);\frac{1}{z+x}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\cdot2\cdot\frac{1}{4}\cdot2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)

\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{3}{4}\)

b) áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)ta có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\\\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{b+c-a+a+c-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\\\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{4}{a+b-c+a+c-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\end{cases}}\)

Cộng theo vế 3 BĐT ta có:

\(2VT\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=2VP\)

\(\Rightarrow VT\ge VP\)

Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c

a) 

Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức

b)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\ge\frac{4}{m+n}\)

c)

Viết giả thiết lại thành \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)sau đó làm như câu a

EZ game